Задача 1.

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости a = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200.

Решение.

1. Вычислим и выборочное среднее квадратическое отклонение .
2. Вычислим теоретические частоты учитывая, что n = 200, h = 2, = 4,695, по формуле
.

Составим расчетную таблицу (значения функции j (x ) приведены в приложении 1).

i

3. Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия :

i
Сумма

По таблице критических точек распределения (приложение 6), по уровню значимости a = 0,05 и числу степеней свободы k = s – 3 = 9 – 3 = 6 находим критическую точку правосторонней критической области (0,05; 6) = 12,6.
Так как =22,2 > = 12,6, гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Задача2

Представлены статистические данные.

Результаты измерений диаметров n = 200 валков после шлифовки обобщены в табл. (мм):
Таблица Частотный вариационный ряд диаметров валков

i
xi , мм

xi , мм

Требуется:

1) составить дискретный вариационный ряд, при необходимости упорядочив его;

2) определить основные числовые характеристики ряда;

3) дать графическое представление ряда в виде полигона (гистограммы) распределения;

4) построить теоретическую кривую нормального распределения и проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по критерию Пирсона. При проверке статистической гипотезы о виде распределения принять уровень значимости a = 0,05

Решение: Основные числовые характеристики данного вариационного ряда найдем по определению. Средний диаметр валков равен (мм):
x ср = = 6,753;
исправленная дисперсия (мм2):
D = = 0,0009166;
исправленное среднее квадратическое (стандартное) отклонение (мм):
s = = 0,03028.


Рис. Частотное распределение диаметров валков

Исходное («сырое») частотное распределение вариационного ряда, т.е. соответствие ni (xi ), отличается довольное большим разбросом значений ni относительно некоторой гипотетической «усредняющей» кривой (рис.). В этом случае предпочтительно построить и анализировать интервальный вариационный ряд, объединяя частоты для диаметров, попадающих в соответствующие интервалы.
Число интервальных групп K определим по формуле Стерджесса:
K = 1 + log2n = 1 + 3,322lgn ,
где n = 200 – объем выборки. В нашем случае
K = 1 + 3,322×lg200 = 1 + 3,322×2,301 = 8,644 » 8.
Ширина интервала равна (6,83 – 6,68)/8 = 0,01875 » 0,02 мм.
Интервальный вариационный ряд представлен в табл.

Таблица Частотный интервальный вариационный ряд диаметров валков.

k
xk , мм

Интервальный ряд может быть наглядно представлен в виде гистограммы частотного распределения.


Рис . Частотное распределение диаметров валков. Сплошная линия – сглаживающая нормальная кривая.

Вид гистограммы позволяет сделать предположение о том, что распределение диаметров валков подчиняется нормальному закону, согласно которому теоретические частоты могут быть найдены как
nk , теор = n ×N (a ; s; xk )×Dxk ,
где, в свою очередь, сглаживающая гауссова кривая нормального распределения определяется выражением:
N (a ; s; xk ) = .
В этих выражениях xk – центры интервалов в частотном интервальном вариационном ряде.

Например, x 1 = (6,68 + 6,70)/2 = 6,69. В качестве оценок центра a и параметра s гауссовой кривой можно принять:
a = x ср.
Из рис. видно, что гауссова кривая нормального распределения в целом соответствует эмпирическому интервальному распределению. Однако следует удостовериться в статистической значимости этого соответствия. Используем для проверки соответствия эмпирического распределения эмпирическому критерий согласия Пирсона c2 . Для этого следует вычислить эмпирическое значение критерия как сумму
= ,
где nk и nk ,теор – эмпирические и теоретические (нормальные) частоты, соответственно. Результаты расчетов удобно представить в табличном виде:
Таблица Вычисления критерия Пирсона

[xk , xk+ 1), мм	xk , мм		nk ,теор

Критическое значение критерия найдем по таблице Пирсона для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы d .f . = K – 1 – r , где K = 8 – число интервалов интервального вариационного ряда; r = 2 – число параметров теоретического распределения, оцененных на основании данных выборки (в данном случае, – параметры a и s). Таким образом, d .f . = 5. Критическое значение критерия Пирсона есть крит(a; d .f .) = 11,1. Так как c2эмп < c2крит, заключаем, что согласие между эмпирическим и теоретическим нормальным распределением является статистическим значимым. Иными словами, теоретическое нормальное распределение удовлетворительно описывает эмпирические данные.

Задача3

Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:

Требуется используя критерий Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – вес упаковок – распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение

1012,5
= 615,3846

Примечание:

В принципе в качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений – 130 достаточно велико, то подойдет и “обычная” .
Таким образом, теоретическое нормальное распределение имеет вид:

Интервал

[xi ; xi+1 ]

Эмпирические частоты

ni

Вероятности
pi

Теоретические частоты
npi

(ni-npi)2

Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины. Проверка гипотез о нормальном, показательном и равномерном распреде-лениях по критерию Пирсона. Критерий Колмогорова . Приближенный метод проверки нормальности распределения, связанный с оценками коэффициентов асимметрии и эксцесса.

В предыдущей лекции рассматривались гипотезы, в которых закон распределения генеральной совокупности предполагался известным. Теперь займемся проверкой гипотез о предполагаемом законе неизвестного распределения, то есть будем проверять нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по некоторому известному закону. Обычно статистические критерии для проверки таких гипотез называются критериями согласия .

Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения.

1. Проверка гипотезы о нормальном распределении.

Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различ-ных значений вариант. Доя удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вари

ант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппированную выборку:

варианты х 1 х 2 х s

частоты п 1 п 2 п s ,

где х i - значения середин интервалов, а п i - число вариант, попавших в i -й интервал (эмпи-рические частоты).

По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение σ В . Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами M (X ) = , D (X ) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п , которое должно оказаться в каждом интер-вале при этом предположении (то есть теоретические частоты). Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i -й интервал:

,

где а i и b i - границы i -го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки п, найдем теоретические частоты: п i =n?p i . Наша цель - сравнить эмпирические и теоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величины

. (20.1)

Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирических частот от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот. Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупно-сти закон распределения случайной величины (20.1) при стремится к закону распределения (см. лекцию 12) с числом степеней свободы k = s - 1 - r , где r - число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = s - 3. Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием

(20.2)

где α - уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством а область принятия гипотезы - .

Итак, для проверки нулевой гипотезы Н 0: генеральная совокупность распределена нормально - нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:

, (20.1`)

а по таблице критических точек распределения χ 2 найти критическую точку , используя известные значения α и k = s - 3. Если - нулевую гипотезу принимают, при ее отвергают.

2. Проверка гипотезы о равномерном распределении.

При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределе-нии генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности

необходимо, вычислив по имеющейся выборке значение , оценить параметры а и b по формулам:

где а* и b* - оценки а и b . Действительно, для равномерного распределения М (Х ) = , , откуда можно получить систему для определения а* и b *: , решением которой являются выражения (20.3).

Затем, предполагая, что , можно найти теоретические частоты по формулам

Здесь s - число интервалов, на которые разбита выборка.

Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляется по формуле (20.1`), а критическое - по таблице с учетом того, что число степеней свободы k = s - 3. После этого границы критической области определяются так же, как и для проверки гипотезы о нормальном распределении.

3. Проверка гипотезы о показательном распределении.

В этом случае, разбив имеющуюся выборку на равные по длине интервалы, рассмотрим последовательность вариант , равноотстоящих друг от друга (считаем, что все варианты, попавшие в i - й интервал, принимают значение, совпадающее с его серединой), и соответствующих им частот n i (число вариант выборки, попавших в i - й интервал). Вычислим по этим данным и примем в качестве оценки параметра λ величину . Тогда теоретические частоты вычисляются по формуле

Затем сравниваются наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом того, что число степеней свободы k = s - 2.

Критерий Пирсона

Критерий Пирсона , или критерий χ 2 - наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения . Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину . Пусть требуется проверить гипотезу H 0 о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F (x ) . Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x ) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F * (x ) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины - критерия согласия . Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

Статистика критерия

Для проверки критерия вводится статистика:

где - предполагаемая вероятность попадения в i -й интервал, - соответствующее эмпирическое значение, n i - число элементов выборки из i -го интервала.

Эта величина в свою очередь является случайной (в силу случайности X) и должна подчиняться распределению χ 2 .

Правило критерия

Перед тем, как сформулировать правило принятия или отвержения гипотезы необходимо учесть, что критерий Пирсона обладает правосторонней критической областью .

Правило. Если полученная статистика превосходит квантиль закона распределения заданного уровня значимости с или с степенями свободы , где k - число наблюдений или число интервалов (для случая интервального вариационного ряда), а p - число оцениваемых параметров закона распределения , то гипотеза отвергается. В противном случае гипотеза принимается на заданном уровне значимости .

Литература

• Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973.

См. также

• Критерий Пирсона на сайте Новосибирского государственного университета
• Критерии типа хи-квадрат на сайте Новосибирского государственного технического университета (Рекомендации по стандартизации Р 50.1.033–2001)
• О выборе числа интервалов на сайте Новосибирского государственного технического университета
• О критерии Никулина на сайте Новосибирского государственного технического университета

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Критерий Пирсона" в других словарях:

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи квадрат) наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая… … Википедия

Или Критерий согласия Колмогорова Смирнова статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… … Википедия

- (максиминный критерий) один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма. История Критерий Вальда был предложен Абрахамом Вальдом в 1955 году для выборок равного объема, а затем распространен на … Википедия

Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… … Википедия

- (F критерий, φ* критерий, критерий наименьшей значимой разности) апостериорный статистический критерий, используемый для сравнения дисперсий двух вариационных рядов, то есть для определения значимых различий между групповыми средними в… … Википедия

Критерий Кохрена используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма. Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости, если: где квантиль случайной величины при числе суммируемых… … Википедия

Статистический критерий, названный по имени Хьюберта Лиллиефорса, профессора статистики Университета Джорджа Вашингтона, являющийся модификацией критерия Колмогорова–Смирнова. Используется для проверки нулевой гипотезы о том, что выборка… … Википедия

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Т Крит … Википедия

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли… … Википедия

критерий независимости - для таблиц сопряженности проверяет гипотезу о том, что переменные строки и столбца независимы. К таким критериям относится критерий независимости хи квадрат (Пирсона) и точный критерий Фишера … Словарь социологической статистики

Книги

• Критерии проверки отклонения распределения от равномерного закона. Руководство по применению: монография , Лемешко Б.Ю.. Книга рассчитана на специалистов, в той или иной степени сталкивающихся в своей деятельности с вопросами статистического анализа данных с обработкой результатовэкспериментов, применением…

​ Критерий корреляции Пирсона – это метод параметрической статистики, позволяющий определить наличие или отсутствие линейной связи между двумя количественными показателями, а также оценить ее тесноту и статистическую значимость. Другими словами, критерий корреляции Пирсона позволяет определить, есть ли линейная связь между изменениями значений двух переменных. В статистических расчетах и выводах коэффициент корреляции обычно обозначается как r xy или R xy .

1. История разработки критерия корреляции

Критерий корреляции Пирсона был разработан командой британских ученых во главе с Карлом Пирсоном (1857-1936) в 90-х годах 19-го века, для упрощения анализа ковариации двух случайных величин. Помимо Карла Пирсона над критерием корреляции Пирсона работали также Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон .

2. Для чего используется критерий корреляции Пирсона?

Критерий корреляции Пирсона позволяет определить, какова теснота (или сила) корреляционной связи между двумя показателями, измеренными в количественной шкале. При помощи дополнительных расчетов можно также определить, насколько статистически значима выявленная связь.

Например, при помощи критерия корреляции Пирсона можно ответить на вопрос о наличии связи между температурой тела и содержанием лейкоцитов в крови при острых респираторных инфекциях, между ростом и весом пациента, между содержанием в питьевой воде фтора и заболеваемостью населения кариесом.

3. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат Пирсона

1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в количественной шкале (например, частота сердечных сокращений, температура тела, содержание лейкоцитов в 1 мл крови, систолическое артериальное давление).
2. Посредством критерия корреляции Пирсона можно определить лишь наличие и силу линейной взаимосвязи между величинами. Прочие характеристики связи, в том числе направление (прямая или обратная), характер изменений (прямолинейный или криволинейный), а также наличие зависимости одной переменной от другой - определяются при помощи регрессионного анализа .
3. Количество сопоставляемых величин должно быть равно двум. В случае анализ взаимосвязи трех и более параметров следует воспользоваться методом факторного анализа .
4. Критерий корреляции Пирсона является параметрическим , в связи с чем условием его применения служит нормальное распределение сопоставляемых переменных. В случае необходимости корреляционного анализа показателей, распределение которых отличается от нормального, в том числе измеренных в порядковой шкале, следует использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена .
5. Следует четко различать понятия зависимости и корреляции. Зависимость величин обуславливает наличие корреляционной связи между ними, но не наоборот.

Например, рост ребенка зависит от его возраста, то есть чем старше ребенок, тем он выше. Если мы возьмем двух детей разного возраста, то с высокой долей вероятности рост старшего ребенка будет больше, чем у младшего. Данное явление и называется зависимостью , подразумевающей причинно-следственную связь между показателями. Разумеется, между ними имеется и корреляционная связь , означающая, что изменения одного показателя сопровождаются изменениями другого показателя.

В другой ситуации рассмотрим связь роста ребенка и частоты сердечных сокращений (ЧСС). Как известно, обе эти величины напрямую зависят от возраста, поэтому в большинстве случаев дети большего роста (а значит и более старшего возраста) будут иметь меньшие значения ЧСС. То есть, корреляционная связь будет наблюдаться и может иметь достаточно высокую тесноту. Однако, если мы возьмем детей одного возраста , но разного роста , то, скорее всего, ЧСС у них будет различаться несущественно, в связи с чем можно сделать вывод о независимости ЧСС от роста.

Приведенный пример показывает, как важно различать фундаментальные в статистике понятия связи и зависимости показателей для построения верных выводов.

4. Как рассчитать коэффициента корреляции Пирсона?

Расчет коэффициента корреляции Пирсона производится по следующей формуле:

5. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?

Значения коэффициента корреляции Пирсона интерпретируются исходя из его абсолютных значений. Возможные значения коэффициента корреляции варьируют от 0 до ±1. Чем больше абсолютное значение r xy – тем выше теснота связи между двумя величинами. r xy = 0 говорит о полном отсутствии связи. r xy = 1 – свидетельствует о наличии абсолютной (функциональной) связи. Если значение критерия корреляции Пирсона оказалось больше 1 или меньше -1 – в расчетах допущена ошибка.

Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи обычно используют общепринятые критерии, согласно которым абсолютные значения r xy < 0.3 свидетельствуют о слабой связи, значения r xy от 0.3 до 0.7 - о связи средней тесноты, значения r xy > 0.7 - о сильной связи.

Более точную оценку силы корреляционной связи можно получить, если воспользоваться таблицей Чеддока :

Оценка статистической значимости коэффициента корреляции r xy осуществляется при помощи t-критерия, рассчитываемого по следующей формуле:

Полученное значение t r сравнивается с критическим значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы n-2. Если t r превышает t крит, то делается вывод о статистической значимости выявленной корреляционной связи.

6. Пример расчета коэффициента корреляции Пирсона

Целью исследования явилось выявление, определение тесноты и статистической значимости корреляционной связи между двумя количественными показателями: уровнем тестостерона в крови (X) и процентом мышечной массы в теле (Y). Исходные данные для выборки, состоящей из 5 исследуемых (n = 5), сведены в таблице.

Опр Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Имеется несколько критериев согласия: $\chi ^2$ { хи-квадрат } К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Обычно теоретические и эмпирические частоты различаются. Случай расхождения может быть не случайным, значит и объясняется тем, что не верно выбрана гипотеза. Критерий Пирсона отвечает на поставленный вопрос, но как любой критерий он ничего не доказывает, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости её согласие или несогласие с данными наблюдений.

Опр Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключённые между 0,01 и 0,05, $\alpha =0,05$ - это $5 { \% } $ уровень значимости.

В качестве критерия проверки гипотезы примем величину \begin{equation} \label { eq1 } \chi ^2=\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } \qquad (1) \end{equation}

здесь $n_i -$ эмпирические частоты, полученные из выборки, $n_i" -$ теоретические частоты, найденные теоретическим путём.

Доказано, что при $n\to \infty $ закон распределения случайной величины { 1 } независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, стремится к закону $\chi ^2$ { хи-квадрат } с $k$ степенями свободы.

Опр Число степеней свободы находят по равенству $k=S-1-r$ где $S-$ число групп интервалов, $r-$ число параметров.

1) равномерное распределение: $r=2, k=S-3 $

2) нормальное распределение: $r=2, k=S-3 $

3) показательное распределение: $r=1, k=S-2$.

Правило . Проверка гипотезы по критерию Пирсона.

1. Для проверки гипотезы вычисляют теоретические частоты и находят $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $
2. По таблице критических точек распределения $\chi ^2$ по заданному уровню значимости $\alpha $ и числу степеней свободы $k$ находят $\chi _ { кр } ^2 ({ \alpha ,k })$.
3. Если $\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 $ то нет оснований отвергать гипотезу, если не выполняется данное условие - то отвергают.

Замечание Для контроля вычислений применяют формулу для $\chi ^2$ в виде $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i" } -n } $

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Функция плотности равномерного распределения величины $X$ имеет вид $f(x)=\frac { 1 } { b-a } x\in \left[ { a,b }\right]$.

Для того, чтобы при уровне значимости $\alpha $ проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, требуется:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $\overline { x_b } $ и $\sigma _b =\sqrt { D_b } $. Принять в качестве оценки параметров $a$ и $b$ величины

$a = \overline x _b -\sqrt 3 \sigma _b $, $b = \overline x _b +\sqrt 3 \sigma _b $

2) Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $({ x_i ,x_ { i+1 } })$ по формуле $ P_i =P({ x_i

3) Найти теоретические { выравнивающие } частоты по формуле $n_i" =np_i $.

4) Приняв число степеней свободы $k=S-3$ и уровень значимости $\alpha =0,05$ по таблицам $\chi ^2$ найдём $\chi _ { кр } ^2 $ по заданным $\alpha $ и $k$, $\chi _ { кр } ^2 ({ \alpha ,k })$.

5) По формуле $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $ где $n_i -$ эмпирические частоты, находим наблюдаемое значение $\chi _ { набл } ^2 $.

6) Если $\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 -$ нет оснований, отвергать гипотезу.

Проверим гипотезу на нашем примере.

1) $\overline x _b =13,00\,\,\sigma _b =\sqrt { D_b } = 6,51$

2) $a=13,00-\sqrt 3 \cdot 6,51=13,00-1,732\cdot 6,51=1,72468$

$b=13,00+1,732\cdot 6,51=24,27532$

$b-a=24,27532-1,72468=22,55064$

3) $P_i =P({ x_i

$ P_2 =({ 3

$ P_3 =({ 7

$ P_4 =({ 11

$ P_5 =({ 15

$ P_6 =({ 19

В равномерном распределении если одинакова длина интервала, то $P_i -$ одинаковы.

4) Найдём $n_i" =np_i $.

5) Найдём $\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $ и найдём $\chi _ { набл } ^2 $.

Занесём все полученные значения в таблицу

\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l| } \hline i& n_i & n_i" =np_i & n_i -n_i" & ({ n_i -n_i" })^2& \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } & Контроль~ \frac { n_i^2 } { n_i" } \\ \hline 1& 1& 4,43438& -3.43438& 11,7950& 2,659898& 0,22551 \\ \hline 2& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 3& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 4& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 5& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 6& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline & & & & & \sum = \chi _ { набл } ^2 =3,261119& \chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i" } -n } =3,63985 \\ \hline \end{array}

$\chi _ { кр } ^2 ({ 0,05,3 })=7,8$

$\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 =3,26<7,8$

Вывод отвергать гипотезу нет оснований.