Средние величины и показатели вариации. Средние величины, их сущность и их виды

22.09.2019

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике , варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики . Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;
исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;
при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показа-телъ (свойство), на который она должна быть ориентирована.

Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Виды средних величин

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадра-тическая, средняя кубическая);
структурные средние (мода, медиана).

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Самый распространенный вид средней величины - средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй - 7, третий - 4, четвертый - 10, пятый- 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:

т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна

Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек , возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где xi - варианты осредняемого признака, fi - частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Средний возраст студентов

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить

среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитывать-ся по формуле средней арифметической взвешенной.

В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины - средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/ xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как Σfi, а время, затраченное на весь путь, - как Σ fi/ xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:

В нашем примере получим:

Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:

где xi - отдельные варианты; n - число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.

Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.

Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.

Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения

их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажо-рантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина. Наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая - при абсолютных значениях уровней ряда.

Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и вычисляется по формуле

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле

средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где - средняя величина; - индивидуальное значение; n - число единиц изучаемой совокупности; k - показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние - мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода - величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле

где х0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; fm_ 1 - частота предшествующего интервала; fm+ 1 - частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой - больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (п +1) / 2 с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле

где X0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; f - число членов ряда;

∫m-1 - сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили - на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей - девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.

Показатели вариации

Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов распределения - атрибутивные и вариационные, в зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.

Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - это наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения. Обозначим частоту повторения значения признака fi, сумма частот, равная объему изучаемой совокупности будет:

где k - число вариантов значений признака. Частоты удобно заменять частостями - wi. Частость - относительный показатель частоты - может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Формально имеем:

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax - Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин. Область применения этого показателя ограничена достаточно однородными совокупностями, точнее, характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете изменчивости всех значений признака.

Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели

вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

Абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f- частота.

Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами.

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации - дисперсию.

Дисперсия (σ 2) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

Вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение (σ) представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков - среднее линейное и среднее квадртическое отклонение - не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.

При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.

где – соответственно максимальное и минимальное значение признака в совокупности;

– число групп.

Наглядно ряды распределения можно представить при помощи их графического изображения. Для этой цели строят полигон, гистограмму, кумулятивную кривую, огиву.

ТЕМА 4. Абсолютные и относительные величины

Понятие статистического показателя и его виды

Статистический показатель – это количественно-качественная обобщающая характеристика, какого-то свойства группы единиц или совокупности в целом в конкретных условиях места и времени. В отличие от признака, статистический показатель получается расчетным путем. Это может быть простой подсчет единиц совокупности, суммирование значений признака, сравнение двух и нескольких величин, более сложные сравнения.

1. По охвату единиц совокупности статистические показатели подразделяются:

2. По способу расчета статистические показатели подразделяются:

3. По пространственной определенности статистические показатели подразделяются:

По форме выражения статистические показатели подразделяются:

Абсолютные величины

Абсолютная величина (показатель) – это число, которое выражает размер, объем явления в конкретных условиях места и времени. Абсолютные величины всегда являются именованными величинами, т. е. имеют какую-либо единицу измерения. В зависимости от выбранной единицы измерения различают следующие виды абсолютных величин:

1. Натуральные – характеризуют объем и размер явления в мерах длины, веса, объема, количеством единиц, числом событий. Натуральные показатели используются для характеристики объема, размера отдельных одноименных видов продукции, в связи, с чем их использование ограничено.

2. Условно-натуральные – используются в том случае, если необходимо перевести разные виды продукции, но одинакового значения в один условный показатель. Условно-натуральный показатель рассчитывают путем перемножения натурального показателя на коэффициент перевода (пересчета). Коэффициенты перевода пересчета берутся из справочников или рассчитываются самостоятельно. Условно-натуральные показатели используются для характеристики объема, размера однородной продукции, в связи, с чем их использование ограничено.

3. Трудовые – имеют такие единицы измерения, как чел.-час., чел.-день. Используются для определения затрат рабочего времени, для расчета заработной платы и производительности труда.

4. Стоимостные (универсальные) измеряются в денежных единицах соответствующей страны. Стоимостные показатели = количество продукции в натуральном выражении * цена единицы продукции. Стоимостные показатели являются универсальными, так как позволяют определить объем, размер разного вида продукции.

Недостатки абсолютных показателей: нельзя охарактеризовать качественные особенности и структуру изучаемого явления, для этого используются относительные показатели, которые рассчитываются на основе абсолютных показателей.

Относительные величины

Относительный показатель – это показатель, который представляет собой частное от деления одного абсолютного показателя на другой и дает числовую меру соотношения между ними.

Неименованные О. П.

1. Коэффициент получается в том случае, если база сравнения равна 1. Если коэффициент больше 1, то он показывает во сколько раз сравниваемая величина больше, базы сравнения . Если коэффициент меньше 1 , то он показывает какую часть базы сравнения составляет сравниваемая величина .

2. Процент, получатся в том случае, если база сравнения равна 100. Процент получают умножением коэффициента на 100.

3. Промилле (‰) – если база сравнения равна 1000. Получают умножением коэффициента на 1000. Промилле используются для того, чтобы избежать дробных значений показателей. Они широко используются в демографической статистике, где показатели смертности, рождаемости, браков определяются на 1000 человек.

4. Продецимилле (‰0) – если база сравнения равна 10000. Получают умножением коэффициента на 10000. Например, сколько приходится врачей, больничных коек на 10000 человек.

Виды относительных величин (показателей):

1. Относительный показатель структуры:

Данный показатель рассчитывается по группированным данным и показывает долю отдельных частей в общем объеме совокупности. Может выражаться в форме коэффициента (доли) или процента (удельные веса). Пример, 0,4 – доля, 40% – удельный вес. Сумма всех долей равна 1, а удельных весов 100%.

2. Относительный показатель динамики:

Данный показатель показывает изменение явления во времени. Выражается в форме коэффициента – коэффициент роста, и форме процента – темп роста.

3. Относительный показатель выполнения плана:

Данный показатель показывает степень выполнения плана и выражается в форме %.

Относительный показатель планового задания:

Данный показатель показывает, какое планируется изменение показателя в будущем по сравнению с предшествующем периодом и выражается в форме процента.

Взаимосвязь между показателями: .

5. Относительный показатель координации:

Данный показатель может рассчитываться на 1, 10, 100 единиц и показывает, сколько единиц одной части приходится в среднем на 1, 10, 100 единиц другой части. Например, численность городского населения на 1, 10, 100 жителей села

6. Относительный показатель интенсивности:

Данный показатель рассчитывается путем сравнения разноименных показателей, находящихся в определенной взаимосвязи между собой. Данный показатель может рассчитываться на 1, 10, 100 единиц и является именованным показателем. Например, плотность населения – чел./1, 10, 100 км2.

7. Относительный показатель сравнения:

Данный показатель рассчитывается путем сравнения одноименных показателей относящихся к одному и тому же периоду времени, но к разным объектам или территориям. Выражается в форме коэффициента и процента.

ТЕМА 5. Средние величины и показатели вариации

1. Средняя величина: понятие и виды

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.

Условия расчета средней величины:

1. Совокупность, по которой рассчитывается средняя величина, должна быть достаточно большой, иначе случайные отклонения в величине признака не будут погашаться и средняя не проявит закономерности, свойственной данному процессу.

2. Совокупность, по которой рассчитывается средняя величина, должна быть качественно однородной, иначе они не только не будут иметь научной ценности, но и могут принести вред, искажая истинный характер изучаемого явления.

3. Общая средняя величина должна дополняться групповыми средними. Общая средняя показывает типический размер всей совокупности, а групповые средние − отдельных ее частей со специфическими свойствами.

4. Для всесторонней характеристики явления должна быть рассчитана система средних показателей, по наиболее существенным признакам.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и усредняемый признак.

Виды средних величин:

1. Степенные средние (к ним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая);

2. Структурные средние (мода и медиана).

Степенные средние рассчитываются по формуле (корень в степени R из средних всех вариантов взятых в какой-то степени):

где − степенная средняя величина исследуемого признака;

− индивидуальное значение усредняемого признака;

− показатель степени средней;

− число признаков (единичной совокупности);

− сумма.

В зависимости от степени получают различные виды простых средних.

Значение		Наименование простой средней
		простая гармоническая
	где П – произведение	простая геометрическая
		простая арифметическая
		простая квадратическая

Чем выше показатель степени () в степенной средней, тем больше величина самой средней. Если рассчитать все эти средние по одним и тем же данным получим следующее соотношение:

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется правилом мажорантности средних.

Из этих видов средних наиболее часто используется средняя арифметическая и средняя гармоническая. Выбор вида средней зависит от исходной информации.

Средняя арифметическая: способы расчета и ее свойства

Средняя арифметическая – это частное от деления суммы индивидуальных значений признака всех единиц совокупности на число единиц совокупности.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

где − среднее значение признака;

− индивидуальные значения признака (варианты);

− число единиц совокупности (вариант).

Средняя арифметическая простая применяется в двух случаях:

· когда каждая варианта встречается только один раз в ряду распределения;

· когда все частоты равны между собой.

Средняя арифметическая взвешенная используется, когда частоты не равны между собой:

где − частоты или веса (числа, показывающие, сколько

раз встречаются индивидуальные значения

признака).

Свойства средней арифметической (без доказательств):

1. Средняя величина от постоянной величины равна ей самой: .

2. Произведение средней величины на сумму частот равно сумме произведения вариантов на их частоты: .

3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то средняя величина увеличится или уменьшится на эту же величину: .

4. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя величина увеличится или уменьшится в то же число раз: .

5. Если все частоты увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, средняя величина не изменится: .

6. Средняя величина суммы равна сумме средних величин: .

7. Сумма отклонений всех значений признака от средней величины рана нулю.

3. Способы расчета средней гармонической

В некоторых случаях характер исходных данных такой, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателей может быть средняя гармоническая.

Виды средней гармонической:

1. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле:

Средняя гармоническая простая используется очень редко, только для расчета средних затрат времени на изготовление единицы продукции при условии, если частоты всех вариант равны.

2. Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле:

где – весь объем явления.

Средняя гармоническая взвешенная используется, если известен весь объем явления, но не известны частоты. Эта гармоническая используется для расчета средних качественных показателей: средней заработной платы, средней цены, средней себестоимости, средней урожайности, средней производительности труда.

4. Структурные средние: мода и медиана

Структурные средние (мода, медиана) применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

Мода − наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. В ряду распределения, где каждая варианта встречается один раз, мода не рассчитывается. В дискретном ряду модой является варианта с наибольшей частотой . Для интервального ряда с равными интервалами мода рассчитывается по формуле:

где − начальная (нижняя) граница модального интервала;

− величина соответственно модального, до – и послемодального интервалов

− частота модального, до – и послемодального интервалов соответственно.

Модальный интервал – это интервал, который имеет наибольшую частоту.

Медиана – это значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные части по числу единиц: одна часть имеет значения признака меньше медианы, а другая больше медианы.

Ранжированный ряд – это расположение значений признака в порядке возрастания или убывания.

В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается один раз, а число вариант не четное номер медианы определяется по формуле:

где – число членов ряда.

В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается один раз и число вариант четное медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ранжированного ряда.

В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается несколько раз, номер медианы определяется по формуле:

Затем, начиная с первой варианты, последовательно суммируются частоты, до тех пор пока не получите .

Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле:

где − нижняя граница медианного интервала;

− величина медианного интервала;

−общее число единиц совокупности;

− накопленная частота до медианного интервала;

− частота медианного интервала.

Медианный интервал – это такой интервал, в котором его накопленная частота равна или превышает полусумму всех частот ряда.

5. Показатели вариации

Вариация признака – это различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Вариация признака характеризуется показателями вариации. Показатели вариации дополняют средние величины, характеризуют степень однородности статистической совокупности по данному признаку, границы вариации признака. Соотношение показателей вариации определяет взаимосвязь между признаками.

Показатели вариации подразделяются на:

1) Абсолютные: размах вариации; среднее линейное отклонение; среднее квадратическое отклонение; дисперсия. Они имеют те же единицы измерения, что и значения признака

2) Относительные: коэффициент осцилляции, коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Размах вариации показывает, на какую величину изменяется значение признака:

где – максимальное значение признака;

– минимальное значение признака.

Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.

Среднее линейное отклонение определяется:

– простое; – взвешенное.

Дисперсия определяются:

– простая; – взвешенная;

– простое; – взвешенное.

Если средняя величина признака рассчитывалась по простой арифметической, тогда рассчитываются по простой формуле, если средняя рассчитывалась по взвешенной, тогда рассчитываются по взвешенной формуле.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение также могут рассчитываться по другой формуле:

– простая; – взвешенная.

Для сравнения вариации различных признаков в одной и той же совокупности или же одного и того же признака в разных совокупностях рассчитывается относительный показатель вариации, именуемый коэффициентом вариации :

Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

6. Виды дисперсий и закон (правило) сложения дисперсий

Если изучаемая совокупность состоит из нескольких групп, образованных на основе какого-либо признака, то помимо общей дисперсии определяют также межгрупповую дисперсию

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю, обусловленную вариацией группировочного признака, в общей вариации изучаемого признака:

Эмпирическое корреляционное отношение показывает влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака:

Эмпирическое корреляционное отношение варьирует в пределах от 0 до 1. При связи нет, при – связь полная. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

ТЕМА 6. Ряды динамики

1. Ряды динамики: понятие и виды

Ряд динамики (хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд) – это ряд числовых значений статистического показателя расположенных в хронологической последовательности. Ряд динамики состоит из двух элементов (граф):

1. время (t) – это моменты (даты) или периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки) времени, к которым относятся статистические показатели (уровни ряда).

2. уровень ряда (y) – значения статистического показателя, характеризующие состояние явления на указанный момент времени или за период времени.


Уровень ряда y

Виды рядов динамики:

1. По времени:

А) интервальные – ряды, уровни которых характеризуют размер явления за период времени (сутки, месяц, квартал, год). Примером такого ряда могут служить данные о динамике производства продукции, количества отработанных человеко-дней и т. д. Абсолютные уровни интервального ряда суммировать можно, сумма имеет смысла, что позволяет получать ряды динамики более укрупненных периодов.

Б) моментные – ряды, уровни которых характеризуют размер явления на дату (момент) времени. Примером такого ряда могут служить данные о динамике численности населения, численности скота, величины запаса, стоимости основных средств, оборотных активов и т. д. Уровни моментного ряда суммировать нельзя, сумма не имеет смысла, так как последующий уровень полностью или частично включает в себя предыдущий уровень.

2. По форме представления (способу выражения) уровней:

А) ряды абсолютных величин.

Б) ряды относительных величин. Относительными величинами характеризуются, например, динамика доли городского и сельского населения (%) и уровня безработицы.

Предмет статистической науки и задачи статистики на современном этапе

Статистика произошло от лат «ststus»-состояние или положение. Статистика - это совокупность цифр; это вид деятельности по сбору и анализу данных; это наука сформировавшаяся в 18в и изначально называл «политическая арифметика». Предмет статист - количественная сторона массовых соц-экон явл в неразрывной связи с их качественной стороной в конкретн услов места и времени. Объект – общество происходящие в нем процессы, т.е. совокупность соц-экономических явлений. Основн метод статистики – закон больших чисел. Важнейшие задачи стат-ки – организ стат наблюдений; обраб-ка данных и получение системы обобщ показателей для анализа; предоставлен гос управл достов информации для своевремен принятия управл решений; публикац информации для информиров-я по соц-экон процессам. Стат. исследования проходят след этапы : 1.статистичек наблюдение(формы и виды сбора информ);2.стасистическа сводка и группировка(систематизация);3.расчет и анализ обобщающих показателей(абсолютн и относ велич, средн велич, показатели вариации, показатели выборочного наблюдения, показатели рядов динамики, индексы).

Статистическая совокупность, ее виды. Единицы совокупности и классификация их признаков.

Статистическая совокупность – совокупность однородных по какому-либо признаку предметов, ограниченных пространством и временем. Совокупность называется однородной, если один или несколько изучаемых существенных признаков ее объектов являются общими для всех единиц. Совокупность, в которую входят явления разного типа, считается разнородной. Пример СС - множество студентов некоторого вуза, обучающихся на 2-ом курсе дневного отделения. Данное множество является качественно однородным, так как объединяет молодых людей, обучающихся в одном и том же вузе на 2-ом курсе дневного отделения. В то же время элементы данного множества - студенты отличаются друг от друга успеваемостью, способностями, состоянием здоровья и т.п. Единица совокупности (элемент) - частный случай проявления изучаемой закономерности; это первичный элемент статистической совокупности, являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации и основой ведущегося при обследовании счета. Признак - это свойство, характеристика единицы статистической совокупности. Например, единица статистической совокупности - «студент» имеет следующие признаки: фамилия, имя, отчество, возраст, оценки по предметам, посещаемость занятий и т.д Чем более однороднее совокупность, тем больше общих признаков имеют ее единицы и меньше варьируют их значения.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

В некотором регионе в текущем году было совершено 12 390 преступлений, а в предыдущем году - 11 800 преступлений. Вычислите (в %) темп роста и темп прироста количества преступлений, зарегистрированных в текущем году по отношению к предыдущему. Рассчитайте также коэффициенты преступности за каждый год, если численность населения региона в конце предыдущего года составляла 1 475 000, а в конце текущего года - 1 770 000 чел. Сделайте выводы о динамике преступности в регионе.

Решение: Для получения точной картины преступности огромное значение имеет такой показатель преступности, как динамика, то есть изменение во времени. Динамика преступности характеризуется понятиями абсолютный рост (или снижение) и темпы роста и прироста преступности, для определения которых производится вычисление этих характеристик согласно определенным формулам.

Темпы роста преступности рассчитываются на основе базисных показателей динамики, что предполагает сопоставление данных за ряд лет (а иногда десятилетий, если нужен широкий охват материала) с постоянным базисом, под которым понимается уровень преступности в начальном для анализа периоде. Такой расчет позволяет криминологам в значительной мере гарантировать сопоставимость относительных показателей, вычисляемых в процентах, которые показывают, каким образом соотносится преступность последующих периодов с предыдущим.

В расчете за 100 % принимаются данные исходного года; показатели, полученные за последующие годы, отражают только процент прироста, что делает расчет точным, а картину более объективной; при оперировании относительными данными удается исключить влияние на снижение или рост преступности увеличения или снижения численности жителей, достигших возраста уголовной ответственности.

Темп прироста преступности вычисляется в процентах. Темп прироста преступности показывает, насколько увеличился или уменьшился последующий уровень преступности по сравнению с предыдущим периодом. Принято условное обозначение вектора темпа прироста: если процентное соотношение возрастает, ставится знак "плюс", если снижается - ставится знак "минус".

Применительно к условиям нашей задаче следует применить соответствующие формулы и вычислить рост и прирост преступности.

1) Темп роста преступности исчисляется по формуле^

Тр=U/U2 * 100 %,

где U - показатель уровня преступности, а U2 - показатель уровня преступности предшествующего периода. Так темп роста преступности по условиям задачи составит - 12390/11800*100 %=1,05 %.

2) Темп прироста преступности рассчитывается по следующей формуле:

Тпр=Тр-100 %.

Так темп прироста по условиям задачи составит 1,05 %-100 %= 98,95 %.

Коэффициент преступности - это конкретный обобщающий показатель общего количества учтенных преступлений, соотнесенного с численностью населения. Он расшифровывается как число преступлений на 100 тыс., 10 тыс. или 1 тыс. населения и является объективным измерителем преступности, позволяющим сопоставлять ее уровни в разных регионах и в разные годы.

Коэффициент преступности помогает более адекватно оценить и динамику уровня преступности, рассчитанного на душу населения.

Коэффициент преступности рассчитывается по формуле:

КП = (П х 100000): Н,

где П - абсолютное число учтенных преступлений; а Н - абсолютная численность всего населения.

Оба показателя берутся в одном и том же территориальном и временном объеме. Число преступлений обычно рассчитывается на 100 тыс. населения. Но при малых числах преступлений и населения (в городе, районе, на предприятии) коэффициент преступности может рассчитываться на 10 тыс. или на 1 тыс. жителей. в любом случае эти числа означают размерность рассматриваемого коэффициента, которая обязательно указывается: число преступлений на 100 тыс. или 10 тыс. населения.

Рассчитаем коэффициент преступности применительно к условиям нашей задачи:

1) КП= (12390*100000): 1 770 000 чел. = 700 (в текущем году).

2) КП= (11800*100000): 1 475 000 = 800 (в предыдущем году).

Преступность в регионе снижается, поскольку, анализируя коэффициент преступности, можно сделать вывод, что при увеличении населения в регионе (на 16,6 %), и незначительном увеличении количества преступлений на 1,05 %, в целом прирост преступности снижается (-98,95 %).

Задача 2

Возраст 11 молодых специалистов учреждения, принятых на службу, в текущем году составил соответственно 19,25,21,23,23,23,25,20,18,20,21 лет. Произведите сводку и группировку данных в виде статистической таблицы частот. Для наглядности постройте полигон частот, а также найдите модальное, медианное и среднее значение возраста принятых сотрудников.

Решение: Группировка - это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. С точки зрения отдельных единиц совокупности группировка - это объединение отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам.

Метод группировки основывается на следующих категориях - это группировочный признак, интервал группировки и число групп.

Группировочный признак - это признак, по которому происходит объединение отдельных единиц совокупности в однородные группы.

Интервал очерчивает количественные границы групп. Как правило, он представляет собой промежуток между максимальными и минимальными значениями признака в группе.

Определение числа групп .

Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса:

n = 1 + 3,2log n = 1 + 3,2log(11) = 4.

Ширина интервала составит:

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности. Xmin - минимальное значение группировочного признака. Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

	№ совокупности	Частота fi

Полигон частоты - это график плотности и вероятности случайной величины, представляет собой ломанную соединяющую точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки частотам этих интервалов.

Среднее значение :

Мода льное значение. Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x 0 - начало модального интервала; h - величина интервала; f 2 - частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 - предмодальная частота; f 3 - послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 19.75, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда - 20.92.

Медиана . Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина - больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 19.75-21.5, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50 % единиц совокупности будут меньше по величине 21.28.

Задача 3

Определите требуемый объем выборки для исследования среднего возраста аттестованных сотрудников ФСИН России при условии, что среднее квадратическое отклонение составляет 10 лет, а максимально допустимая ошибка выборки не должна превышать 5 %.

Решение ищем по формуле определения численности выборки для повторного отбора.

Ф(t) = г/2 = 0.95/2 = 0.475 и этому значению по таблице Лапласа соответствует t=1.96.

Оценка среднеквадратического отклонения s = 10; ошибка выборки е = 5.

Задача 4

В следующей таблице даны официальные ведомственные статистические сведения о распределении осужденных по срокам заключения (наказания) за 2002-2011 годы, размещенные на официальном сайте ФСИН России: www.fsin.su. Найдите размах и коэффициент вариации количества осужденных за каждый календарный год и сделайте выводы об однородности структуры данного статистического признака.

Основным показателем, характеризующим однородность данных, является коэффициент вариации. В статистике принято считать, что, если значение коэффициента менее 33 %, то совокупность данных является однородной, если более 33 %, то - неоднородной.

Коэффициент вариации

Поскольку v ? 30 %, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Срок наказания


От 1 до 3 лет
От 3 до 5 лет
От 5 до 10 лет
От 10 до 15 лет
Свыше 15 лет
Максимальное значение (функция МАКС)
Минимальное значение (функция МИН)
Размах вариации
Среднее значение (функция СРЗНАЧ)
Среднее квадратическое отклонение (функция СТАНДАР ЛОНА)
Коэффициент вариации

Простая средняя :

Мода льное значение

Медиана

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 70580. Следовательно, медиана Me = 70580.

Показатели вариации . .

R = X max - X min .

R = 295916-2250 = 293666.

Среднее линейное отклонение

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 90895.71.

Дисперсия

(средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 103008 в среднем на 107169.83.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>

или

Коэффициент осцилляции

Простая средняя :

Мода

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 76186. Следовательно, медиана Me = 76186.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min

R = 291112-3101 = 288011.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 83422.69.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 97334.29 в среднем на 100750.25.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя :

Мода льное значение. Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 71093. Следовательно, медиана Me = 71093.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min

R = 243852-3856 = 239996.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 68998.08.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 85765.57 в среднем на 82541.55.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 74588. Следовательно, медиана Me = 74588.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min ,

R = 242984-5304 = 237680.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 73148.73.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 92104.14 в среднем на 82873.1.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 76678. Следовательно, медиана Me = 76678

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 249346-6536 = 242810.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 79680.53.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 99551.71 в среднем на 87389.04.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 76461. Следовательно, медиана Me = 76461.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 254722-6704 = 248018.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 82302.82.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 102346.71 в среднем на 89787.88.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 78959. Следовательно, медиана Me = 78959.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 261334-7635 = 253699.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 83791.55.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 104898.86 в среднем на 91616.15.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 75916. Следовательно, медиана Me = 75916.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 263863-8145 = 255718.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 82767.96.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 103440.71 в среднем на 91207.92.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 78019. Следовательно, медиана Me = 78019.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min

R = 260094-7798 = 252296.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 77827.76.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 99212.29 в среднем на 88081.39.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 72248. Следовательно, медиана Me = 72248.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 242137-7173 = 234964.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 70459.02.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 91375.14 в среднем на 80674.43.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Задача 5

В условиях предыдущей задачи произведите перегруппировку заданных интервалов сроков наказания с целью улучшения относительных показателей вариации признака в 2010 году. Постройте гистограммы распределения осужденных по срокам заключения (наказания) за 2010 год до и после произведенной группировки данных и сделайте выводы об однородности структуры исследуемого статистического признака.

Решение:

Поскольку v>30 %, но v<70 %, то вариация умеренная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична.

Совершим перегруппировку данных следующим образом:

В группу 1) входит группы: до года, год, от 1-3 лет соответственно 156978.

В группу 2) входит от группы свыше 3 до 5 лет полностью и 1\5 от группы свыше 5 до 10 лет получаем 1\5*260094+168651=220669,8.

В группу 3) входит 3\5 группы от 5 до 10 т.е. 3\5*260094=156056,4.

Группа 4) (1\5*260094)+(1\5*78019)=67622,6.

Группа 5) 3\5*78019=46811,4.

Группа 6 30744+(1\5*78019)=46347,8.

Гистограмма. Для получения вывода о однородности исследуемого статистического признака Вычислим коэффициент вариации:

Поскольку v>30 %, но v<70 %, то вариация умеренная.

Задача 6

Изложить в краткой форме (тезисно, на 1-2 страницах) содержание и результаты недавнего официального статистического исследования в социально-правовой сфере (тематика - на Ваш выбор, ссылки на Интернет-ресурсы - обязательны), сделать выводы и выдвинуть соответствующие статистические гипотезы на краткосрочную перспективу.

В качестве официального статистического исследования было взято исследование о просроченной задолженности по заработной плате на 1 декабря 2015 года.

На 1 декабря 2015 г., по сведениям организаций (не относящихся к субъектам малого предпринимательства), суммарная задолженность по заработной плате по кругу наблюдаемых видов экономической деятельности составила3900 млн. рубл ей и по сравнению с 1 ноября 2015 г. увеличилась на 395 млн. рублей (на 11,3 %).

Просроченная задолженность по заработной плате из-за отсутствия у организаций собственных средств на 1 декабря 2015г. составила3818 млн. рубл ей , или 97,9 % общей суммы просроченной задолженности. По сравнению с 1 ноября 2015г. она увеличилась на 389 млн. рублей (на 11,3 %). Задолженность из-за несвоевременного получения денежных средств из бюджетов всех уровней составила82 млн. рубл ей и увеличилась по сравнению с 1 ноября 2015г. на 6 млн. рублей (на 7,7 %), в том числе задолженность из федерального бюджета составила 62 млн. рублей и снизилась по сравнению с 1 ноября 2015г. на 6 млн. рублей (на 8,6 %),бюджетов субъектов Российской Федерации составила 1,1 млн. рублей (увеличение на 0,2 млн. рублей или на 20,7 %), местных бюджетов - 19 млн. рублей (увеличение на 12 млн. рублей, или в 2,5 раза).

В добыче полезных ископаемых, обрабатывающих производствах, здравоохранении и предоставлении социальных услуг, рыболовстве и рыбоводстве 100 % просроченной задолженности по заработной плате образовано из-за нехватки у организаций собственных средств.

В общем объеме просроченной задолженности по заработной плате 37 % приходится на обрабатывающие производства, 29 % - на строительство, 9 % - на производство и распределение электроэнергии, газа и воды, 7 % - на транспорт, 6 % - на добычу полезных ископаемых, 5 % - на сельское хозяйство, охоту и предоставление услуг в этих областях, лесозаготовки.

Объем просроченной задолженности по заработной плате на 1 декабря 2015г. составил менее 1 % месячного фонда заработной платы работников наблюдаемых видов экономической деятельности.

Задолженность по заработной плате за последний месяц , за который производились начисления, в общем объеме просроченной задолженности составила в среднем 29 %: производстве и распределении электроэнергии, газа и воды - 75 %, деятельности в области образования - 37 %, здравоохранения и предоставления социальных услуг - 35 %, научных исследований и разработок - 32 %, строительства - 29 %, транспорта - 23 %, обрабатывающих производствах - 22 %.

Из общей суммы невыплаченной заработной платы на долги, образовавшиеся в 2014г.,приходится 457 млн. рублей (11,7 %), в 2013г. и ранее - 657 млн. рублей (16,8 %).

В целом наблюдая картину задолженности по заработной плате в динамике (http://www.gks.ru/bgd/free/B04_03/IssWWW.exe/Stg/d06/Image 5258.gif), можно сделать вывод что значительный спад придется на январь, февраль 2016 года.

Основной процент задолженности приходится на обрабатывающие производства - 37 %, 29 % - на строительство скорее всего это происходит в связи со снижением потребительского спроса на продукцию, соответственно уменьшается прибыль.

Выдвинем гипотезу. С января 2016 года процент задолженности будет сокращаться, в связи с распределением годового бюджета на будущий год с учетом частичного погашения задолженности по заработной плате, и составит 2700 млн. динамика преступность вариация медианное

Для проверки гипотезы (За основу берем данный таблицы http://www.gks.ru/bgd/free/B04_03/IssWWW.exe/Stg/d06/Image5258.gif).

Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.

Вычислим среднюю:

Вычислим дисперсию. Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Используя односторонний критерий с б = 0,05, проверить эту гипотезу, если в выборке из n =24 месяца средний показатель оказался равным 2741,25, а дисперсия известна и равна у =193469,27

Решение . Среднеквадратическое отклонение:

Выдвигается нулевая гипотеза H 0 о том, что значение математического ожидания генеральной совокупности равно числу м 0: = 2700.

Альтернативная гипотеза:

H 1: м? 2700, критическая область - двусторонняя.

Для проверки нулевой гипотезы используется случайная величина:

где x - выборочное среднее; S - среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности.

Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина T имеет стандартное нормальное распределение. Критическое значение статистики T определяется исходя из вида альтернативной гипотезы:

P(|T|

Найдем экспериментальное значение статистики T:

Поскольку объем выборки достаточно большой (n>30), то вместо истинного значения среднеквадратического отклонения можно использовать его оценку S=439.851.

Ф(t кр)=(1-б)/2 = (1-0.05)/2 = 0.475.

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t kp значение Ф(t kp) = 0.475.

Экспериментальное значение критерия T не попало в критическую область T ? t kp , поэтому нулевую гипотезу следует принять. Значение математического ожидания генеральной совокупности можно принять равным 2700

Список используемой литературы

1. Казанцев С.Я. Правовая статистика: Учебник / Под ред. С.Я. Казанцева, С.Я. Лебедева - М.: ЮНИТИ-ДАНА: Закон и право, 2009 г.

2. Курыс?в К.Н. Основы правовой статистики: учеб. пособие / К.Н. Курыс?в; ВЮИ ФСИН России. - Владимир, 2005. - 44 с.

3. Макарова Н.В. Статистика в Exсel: учеб. пособие / Н.В. Макарова, В.Я. Трофимец. - М.: Финансы и статистика.

4. Кондратюк Л.В., Овчинский В.С. Криминологическое измерение /под ред. К.К. Горяинова. - М.: Норма, 2008.

5. Яковлев В.Б. Статистика. Расчеты в Microsoft Excel: учеб. Пособие для вузов / В.Б. Яковлев. - М.: Колосc, 2005. - 352 c.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Исследование преступности несовершеннолетних с позиций объекта криминологического исследования. Взаимосвязь подросткового алкоголизма, токсикомании, наркомании и преступности. Причины и условия и пути профилактики преступности несовершеннолетних.

курсовая работа , добавлен 08.04.2011

Методика конкретного криминологического исследования. Криминологическая характеристика насильственной преступности и ее предупреждение. Общественная опасность и тяжесть причиняемых последствий насильственных преступлений. Статистика преступности.

контрольная работа , добавлен 15.01.2011

Формула расчета коэффициента преступности. Расчет среднегодовой нагрузки на одного судью, среднего срока расследования уголовных дел, среднегодовых темпов роста преступности. Расчет показателей моды, медианы, вариации и среднеквадратического отклонения.

контрольная работа , добавлен 20.04.2011

Изучение основ корыстной преступности: понятие, элементы, объекты и субъективные стороны. Описание социального и специально-криминологического предупреждения преступности из корыстных побуждений. Разработка комплекса мер по предупреждению преступлений.

дипломная работа , добавлен 09.11.2012

Понятие и предмет криминологического прогнозирования. Установление возможных изменений в состоянии, уровне, структуре и динамике преступности в будущем. Оценка развития преступности в перспективе. Планирование борьбы с преступностью, ее предупреждение.

курсовая работа , добавлен 29.05.2015

Исследование видов криминологического прогнозирования и проектирования в сфере преступности. Особенности прогнозирования преступности несовершеннолетних в Республике Казахстан. Разработка программ борьбы с преступностью на общегосударственном уровне.

дипломная работа , добавлен 25.10.2015

Преступность несовершеннолетних как объект криминологического исследования. Основные, криминологические характеристики преступности несовершеннолетних. Состояние преступности. Особенности личностной характеристики несовершеннолетних.

реферат , добавлен 01.04.2003

Тенденции криминального поведения современных женщин: рост и устойчивый удельный вес тяжких и рецидивных преступлений, омоложение преступниц и увеличение количества женщин пожилого возраста среди осужденных. Общие меры предупреждения женской преступности.

реферат , добавлен 01.03.2014

Расчет относительных показателей структуры и координации категорий осужденных по степени тяжести совершенных преступлений. Коэффициенты преступности и судимости по федеральным округам и в целом по России. Расчет показателей динамики с помощью MS Excel.

контрольная работа , добавлен 31.07.2011

Понятие, виды, значения, детерминанты латентной преступности, причины ее возникновения, предупреждение и способы сокращения. Определение уровня и анализ структуры преступности. Системный подход в изучении латентной преступности как социального явления.

Реферат

Средние величины и показатели вариации

1.Сущность средних в статистике

2.Виды средних величин и способы их расчёта

3.Основные показатели вариации и их значение в статистике

1. Сущность средних ве личин в статистике

В процессе изучения массовых социально-экономических явлений возникает необходимость выявления их общих свойств, типичных размеров и характерных признаков. Необходимость в обобщающем среднем показателе возникает в том случае, когда признаки, характеризующие единицы изучаемой совокупности, количественно варьируют. Например, размер дневной выработки ткачей на текстильной фабрике зависит от общих условий производства, ткачи используют одинаковое сырьё, работают на одинаковых станках и т.д. В то же время часовая выработка отдельных ткачей колеблется, т.е. варьирует, так как зависит от индивидуальных особенностей каждого ткача (его квалификации, профессионального опыта и т.д.). Чтобы характеризовать дневную выработку всех ткачей предприятия, необходимо исчислить среднюю величину дневной выработки, так, как, только, в, этом, показателе найдут отражение общие для ткачей условия производства.

Таким образом, исчисление средних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) от особенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявление общих для данной совокупности типичных черт и свойств.

Таким образом, средней величиной в статистике является обобщённая, количественна характеристика признака и статистической совокупности. Она выражает характерную, типичную величину признака у единиц совокупности, образующихся в данных условиях места и времени под влиянием всей совокупности факторов. Действие разнообразных факторов порождает колебание, вариацию усредняемого признака. Средняя величина является общей мерой их действия, равнодействующей всех этих факторов. Средняя величина характеризует совокупность по усредняемому признаку, но относится к единице совокупности. Например, средняя выработка продукции на одного рабочего данного предприятия представляет собой отношение всей выработки (за любой период времени) к общей (средней за тот же период) численности его рабочих. Она характеризует производительность труда данной совокупности, но относится к одному рабочему. В средней величине массового явления погашаются индивидуальные различия единиц статистической совокупности в значениях усредняемого признака, обусловленные случайными обстоятельствами. Вследствие этого взаимопогашения в средней проявлявляется общее, закономерное свойство данной статистической совокупности явлений. Между средней и индивидуальными значениями осреднённого признака существует диалектическая связь как между общим и отдельным. Средняя является важнейшей категорией статистической науки и важнейшей формой обобщающих показателей. Многие явления общественной жизни становятся ясными, определёнными, лишь, будучи обобщенными, в форме средних величин. Таковы, например, упомянутая выше производительность труда, совокупность рабочих, урожайность сельскохозяйственных культур и т.д. Средняя выступает в статистике важнейшим методом научного обобщения. В этом смысле говорят о методе средних величин, который широко применяется в экономической науке. Многие категории экономической науки определяются с использованием понятия средней.

Основным условием правильного применения средней величины является однородность статистической совокупности по усредняемому признаку. Однородной статистической совокупностью называется такая совокупность, в которой её составные элементы (единицы) сходны между собой по существенным для данного исследования признакам и относятся к одному и тому же типу явлений. Однородная совокупность, будучи однородна по одним признакам, может быть разнородной по другим. Только в средних для таких совокупностей проявляются специфические особенности, закономерности развития анализируемого явления. Средняя вычисленная для неоднородной статистической совокупности, т.е. такой в которой объединены качественно различные явления, теряет своё научное значений. Такие средние являются фиктивными, не только не дающими представления о действительности, но и искажающими её. Для формирования однородных статистических совокупностей производится соответствующая группировка. С помощью группировок и в качественно однородной совокупности могут быть выделены характерные в количественном отношении группы. Для каждой из них может быть вычислена своя средняя, называемая средней групповой (частной) в отличие от общей средней (для совокупности в целом).

2. Виды средних величин

Большое значение в методологии средних величин имеют вопросы выбора формы средней, т.е. формулы по которой можно правильно вычислить среднюю величину, и выбора весов средней. Наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратичная, мода и медиана. Применение той или иной формулы зависит от содержания усредняемого признака и конкретных данных, по которым её необходимо рассчитать. Для выбора формы средней можно воспользоваться так называемым средним исходным соотношением.

2.1 Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняя арифметическая рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений (вариантов) варьирующего признака на их число. Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака явлений однородной статистической совокупности, образуется путём суммирования значений признака всех единиц явлений статистической совокупности. Различают следующие средне арифметические величины:

1) Простая средняя арифметическая , которая определяется путём простого суммирования количественных значений варьирующего признака и деления этой сумы на их варианты и рассчитывается по следующей формуле:

Х - средняя величина статистической совокупности,

x i - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

n i - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.

2) Среднеарифметическая взвешенная - средняя величина признака явления, вычисленная с учётом весов. Веса средних величин - частоты, с которыми отдельные значения признака осредняемого принимаются в расчёт при исчислении его средней величины. Выбор весов средней величины зависит от сущности усредняемого признака и характера данных, которыми располагают для вычисления средних величин. В качестве весов средних величин могут быть показатели численности единиц или размеры частей статистической совокупности (в форме абсолютных или относительных величин), обладающих данным вариантом (значением) усредняемого признака явления статистической совокупности, а также величины показателя связанного с усредняемым признаком. Среднеарифметическая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:

X- средняя арифметическая взвешенная,

х - величина отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

Назначение простой, и взвешенной средней арифметической является определение среднего значения варьирующего признака. Если в изучаемой статистической совокупности варианты значений признака встречаются по одному разу или имеют одинаковый вес, то применяется простая средняя арифметическая, если же варианты значений данного признака встречаются в изучаемой совокупности по несколько раз или имеют различные веса, для определения среднего значения варьирующего признака применяется средняя арифметическая взвешенная.

2.2 Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется для расчёта средней величины тогда, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты усредняемого признака (х) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением w (w = xf).

Данная средняя рассчитывается по следующим формулам:

1.) Среднегармоническая простая:

Х - средняя гармоническая простая,

n - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.

2) Среднегармоническая взвешенная:

Х - средняя гармоническая взвешенная,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

При использовании гармонической взвешенной выявляют веса и таким образом получают тот же результат, который дал бы расчёт по средней арифметической взвешенной, если бы были известны все необходимые для этого данные.

2.3 Средняя агрегатная

Средняя агрегатная рассчитывается по формуле:

X - средняя агрегатная,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

Средняя агрегатная вычисляется в тех случаях, когда известны (имеются) значения числителя и значения знаменателя исходного соотношения средней.

2.4 Средняя геометрическая

Средняя геометрическая является одной из форм средней величины и вычисляется как корень n-й степени из произведения отдельных значений - вариантов признака (х) и определяется по следующей формуле:

Средняя геометрическая применяется в основном при расчётах средних темпов роста.

2.5 Мода и медиана

Наряду с рассмотренными выше средними в качестве статистических характеристик вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние - мода и медиана.

Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности . Для дискретных рядов - этот вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных вариационных рядах можно определить, прежде всего, интервал, в котором находится мода, т.е. так называемый модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах с равными интервалами пользуются формулой следующего вида:

Хн - нижняя граница модального интервала,

h - величина интервала,

f 1 , f 2 , f 3 - частоты (или частности) соответственно предмодального, модального и послемодального интервалов.

В интервальном ряду моду можно найти графически. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ двух смежных столбцов проводят две линии. Затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее перпендикуляру, и будет модой.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщённого показателя отдаётся предпочтение моде, а не средней арифметической.

Так, при изучении цен на рынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определённую продукцию, а модальная; при изучении спроса населения на определённый размер обуви или одежды представляет интерес определение модального размера обуви, а средний размер как таковой здесь вообще не имеет значения. Мода представляет не только самостоятельный интерес, но и исполняет роль вспомогательного показателя при средней, характеризуя её типичность. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.

Медианой (Ме) называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда. (Ранжированным называют ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания.)

Чтобы найти медиану, сначала определяется её порядковый номер. Для этого при нечётном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица, и всё делится на два. При чётном числе единиц в ряду будет две средних единицы, и по всем правилам медиана должна определяться как средняя из значений этих двух единиц. При этом практически при чётном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер которой определяется по общей сумме частот, делённой на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти её значение.

В интервальных рядах после определения порядкового номера медианы по накопительным частотам (частностям) отыскивается медиальный интервал, а затем при помощи простейшего интерполяционного приёма определяется значение самой медианы. Этот расчёт выражает следующая формула:

X n - нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

Порядковый номер медианы,

S Me - 1 частота (частотность), накопленная до медианного интервала,

F Me - частота (частность) медианного интервала.

Согласно записанной формуле к нижней границе медианного интервала прибавляется такая часть величины интервала, которая приходится на долю единиц этой группы, недостающих до порядкового номера медианы. Другими словами, расчёт медианы построен на предположении, что нарастание признака среди единиц каждой группы происходит равномерно. На основе сказанного можно рассчитать медиану и по иному. Определив медианный интервал, можно из верхней границы медианного интервала (Хв) вычесть ту часть интервала, которая приходится на долю единиц, превышающих порядковый номер медианы, т.е. по следующей формуле:

Медиану можно также определить и графически. Для этого строиться кумулята и из точки на шкале накопленных частот (частностей), соответствующей порядковому номеру медианы, проводится прямая, параллельная оси х до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с куммулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведённой ординате (перпендикуляру), и будет медианой.

По такому же принципу легко найти значение признака у любой единицы ранжированного ряда.

Таким образом, для расчёта средней величины вариационного ряда можно использовать целую совокупность показателей.

3. Основные показатели вари ации и их значение в статистике

При изучении варьирующего признака у единиц совокупности нельзя ограничиваться лишь расчётом средней величины из отдельных вариантов, так как одна и та же средняя может относиться далеко не к одинаковым по составу совокупностям. Это можно проиллюстрировать следующим условным примером, отражающим данные о числе дворов в агрохозяйствах двух районов:

Среднее число дворов в агрохозяйствах двух районов одинаково - 160. При этом состав этих агрохозяйств в двух районах далеко не одинаков. Поэтому возникает необходимость измерить вариацию признака в совокупности.

Для этой цели в статистике рассчитывают ряд характеристик, т.е. показателей. Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R , представляющий собой разность между максимальными и минимальными значениями признака в данном вариационном ряду, т.е. R = Xmax - Xmin. В нашем примере в 1 районе R = 300 - 80 - 220, а во втором районе R = 180 - 145 = 35.

Показатель размаха вариации не всегда применим, так как он учитывает только крайние значения признака, которые могут сильно отличаться от всех других единиц. Иногда находят отношение размаха вариации к средней арифметической и пользуются этой величиной, именуя её показателем осцилляции.

Более точно можно определить вариацию в ряду при помощи показателей, учитывающих отклонения всех вариантов от средней арифметической. Таких показателей в статистике два - среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных величин отклонений вариантов от средней. Знаки отклонений в данном случае игнорируются, в противном случае сумма всех отклонений будет равна нулю. Данный показатель рассчитывается по формуле:

б) для вариационного ряда:

Следует иметь в виду, что среднее линейное отклонение будет минимальным, если отклонения рассчитаны от медианы, т.е. по формуле:

Среднее квадратическое отклонение () исчисляется следующим образом - каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются (с учётом весов), после чего сумма квадратов делиться на число членов ряда и из частного извлекается корень квадратный.

Все данные действия выражаются следующими формулами:

а) для несгрупированных данных:

б) для вариационного ряда:

f, т.е. среднее квадратическое отклонение предятавляет собой корень квадратный из средней арифметической квадратов отклонений средней. Выражение под корнем носит название дисперсии. Дисперсия имеет самостоятельное выражение в статистике и относится к числу важнейших показателей вариации.