В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

1) A - абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2) Q - относительную пропускную способность , т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3) P_{\text{otk}} - вероятность отказа , т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

4) \overline{k} - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании - поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности \mu , т.е. \overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu .

Система S (СМО) имеет два состояния: S_0 - канал свободен, S_1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)

\begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p_0+p_1=1 , найдем из (18) предельные вероятности состояний

P_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S_0 (когда канал свободен) и S_1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P_{\text{otk}}:

Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,

P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.

Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью \lambda , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем \lambda=90 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5 (1/мин) =30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25 , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_{\text{otk}}=0,\!75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5 , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга . Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n , где S_k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью \lambda . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S_2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S_1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2\mu . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S_3 (три канала заняты) в S_2 , будет иметь интенсивность 3\mu , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

P_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},

где члены разложения \frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n} , будут представлять собой коэффициенты при p_0 в выражениях для предельных вероятностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n . Величина

\rho=\frac{\lambda}{\mu}

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала . Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

P_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.

P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Абсолютная пропускная способность:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Среднее число занятых каналов \overline{k} есть математическое ожидание числа занятых каналов:

\overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),

где p_k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем \mu заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

\overline{k}=\frac{A}{\mu}

Или, учитывая (29), (24):

\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) \rho=\frac{90}{30}=3 , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n=2,3,4,\ldots и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n=2 имеем

З_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 и т.д.

Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.

По условию оптимальности Q\geqslant0,\!9 , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q=0,\!9 - см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (A=80,\!1) , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) \overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67 .

Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию n=3,~\lambda=0,\!25 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}} =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33 . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) \rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75 . Найдем предельные вероятности состояний:

– по формуле (25) p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 ;

– по формуле (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 ;

т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033 .

По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q=1-0,\!033=0,\!967 , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242 , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.

По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ \overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725 , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на \frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%. .

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Окончание табл. 8

Пример 6. Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток вызовов клиентов с интенсивностью вызовов/мин. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q ,абсолютной пропускной способности А и вероятность отказа р отк телефонной линии. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, чтоканал свободен или занят.

Так как математической моделью телефонной линии является одноканальная CMО с отказами, характеризующаяся параметрами: интенсивностью входящего потока и интенсивностью потока обслуживания , то по формуле из табл. 1 определим предельную вероятность отказа:

или ,

т. е. в установившемся режиме из каждых 100 заявок в среднем 53 получают отказ.

Определим предельное значение относительной Q и абсолютной А пропускной способности СМО:

Из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных вызовов и случайный характер длительности разговоров порождают ситуацию, что абсолютная пропускная способность разговора/мин почти в два раза меньше производительности телефонной линии вызовов/мин.

Среднее время обслуживания мин.

Среднее время простоя канала мин.

Вероятность того, что канал свободен,

.

Вероятность того, что канал занят,

.

Таким образом, вероятность того, что канал занят, больше вероятности того, что канал свободен, и этого следовало ожидать, так как интенсивность входящего потока больше интенсивности производительности канала .

2. Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживания имеет интенсивность m. Предельные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами приведены в табл. 9.

Пример 7. Пункт по приему техники работает в режиме отказа с двумя бригадами. Интенсивность потока заявок заявки в день, среднее время обслуживания заявки . Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускные способности, среднее число занятых бригад.

Таблица 9

Предельные характеристики функционирования

Многоканальной СМО с отказами

Характеристики в момент времени t	Формулы
1. Коэффициент использования
2. Вероятность того, что каналы свободны
3. Вероятность занятости n каналов
4. Вероятность отказа заявке
5. Вероятность отказа заявке
6. Относительная пропускная способность СМО
7. Абсолютная пропускная способность СМО
8. Среднее время обслуживания заявок
9. Среднее число занятых каналов

Рассчитываем интенсивность потока обслуживания

Классификация СМО и их основные характеристики

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. Первое деление: СМО с отказами и СМО с очередью . В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Примеры СМО с отказами встречаются в телефонии: заявка на разговор, пришедшая в момент, когда все каналы связи заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют большее значение) СМО с очередью; недаром теория массового обслуживания имеет второе название: «теория очередей».

СМО с очередью подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь-ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками»). При анализе СМО должна учитываться также и «дисциплина обслуживания» - заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (раньше пришла, раньше обслуживается), либо в случайном порядке. Нередко встречается так называемое обслуживание с приоритетом - некоторые заявки обслуживаются вне очереди. Приоритет может быть как абсолютным - когда заявка с более высоким приоритетом «вытесняет» из-под обслуживания заявку с низшим (например, пришедший в парикмахерскую клиент высокого ранга прогоняет с кресла обыкновенного клиента), так и относительным - когда начатое обслуживание доводится до конца, а заявка с более высоким приоритетом имеет лишь право на лучшее место в очереди.

Существуют СМО с так называемым многофазовым обслуживанием, состоящим из нескольких последовательных этапов или «фаз» (например, покупатель, пришедший в магазин, должен сначала выбрать товар, затем оплатить его в кассе, затем получить на контроле).

Кроме этих признаков, СМО делятся на два класса: «открытые» и «замкнутые». В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО - зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже неисправно и ждет наладки. Это - пример замкнутой СMO.

В зависимости от типа СМО при оценке её эффективности могут применяться те или иные величины (показатели эффективности). Например, для СМО с отказами одной из важнейших характеристик её продуктивности является так называемая абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени. Наряду с абсолютной, часто рассматривается относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа обслуживаемых в единицу времени заявок к среднему числу поступающих заявок за это время). Помимо этого при анализе СМО с отказами могут интересовать ещё среднее число занятых каналов, среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала и т.д.

Характеристики СМО с ожиданиями. Для СМО с неограниченным ожиданием абсолютные и относительные пропускные способности теряют смысл. Зато важными являются: среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием), среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и другие. Для СМО с ограниченным ожиданием интерес представляют обе группы характеристик.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры системы: число каналов n , интенсивность потока заявок l, производительность каждого канала (среднее число заявок , обслуживаемых непрерывно занятым каналом в единицу времени), условия образования очереди (ограничения, если они есть).

Условимся все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, считать пуассоновскими.

Простейшая задача. Пусть СМО состоит только из одного канала (n=1 ) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью l, зависящей в общем случае от времени l=l(t) (9.1). Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени Т об, распределенного по показательному закону с параметром m f(t)= me - m t (t>0) (9.2).

Из этого следует, что «поток обслуживаний» - простейший, с интенсивностью m. Требуется найти: абсолютную (А) и относительную (q ) пропускные способности.

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний: S 0 – свободен, S 1 – занят. Обозначим вероятности состояний p 0 (t) и p 1 (t) . Очевидно:

"t p 0 (t)+p 1 (t)=1 (9.3).

Граф состояний системы

По графу состояний системы составим дифференциальные уравнения Колмогорова:

(9.4)

В соответствии с (9.3) одно уравнение в (9.4) лишнее. Отбросим второе уравнение, а первое перепишем с учетом (9.3):

или (9.5).

Это уравнение естественно решать при начальных условиях p 0 (0)=1; p 1 (0)=0. Уравнение (9.5) легко может быть решено не только для простейшего потока заявок (l=const), но и для случая l=l(t). Приведем решение (9.5) только для случая l=const: .

Для нашего случая вероятность p 0 есть не что иное, как q .

Действительно, p 0 есть вероятность того, что в момент t канал свободен, иначе вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t , будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее число обслуженных заявок к числу поступивших также равно p 0: q= p 0 .

В пределе, при t®¥, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение q будет равно .

Легко найти и А, зная q . Они связаны очевидным соотношением:. В пределе, при t®¥, А тоже установится и будет равна .

Зная q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена) легко найти вероятность отказа: P отк =1-q. P отк есть не что иное, как средняя доля необслуженных заявок среди поданных. В пределе, при t®¥ .

Пусть система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживаний имеет интенсивность m. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает её.

Требуется найти абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t , получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S 0 – канал свободен; S 1 – канал занят. Переход из S 0 в S 1 связан с появлением заявки и немедленным началом её обслуживания. Переход из состояния S 1 в S 0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

(среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени)

Шт/ед. времени,

где l – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками ); m – интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания ).

(средняя доля заявок, обслуживаемых системой)

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной)

Очевидны следующие соотношения: Q = 1 – P отк и P отк = 1 – Q .

Пример. Технологическая система состоит из одного станка. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа ( = 0,5 ч.). Среднее время изготовления одной детали равно = 0,6 ч. Если при поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется на другой станок. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению детали.

ч –1 ; ч –1 ;

дет/ч; .

Т. е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.

.

Т. е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие станки.

4.4.2. N-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Пусть в системе имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживаний имеет интенсивность m. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Требуется найти абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t , получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (среднее число занятых каналов).

Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

- S 0 – в СМО нет ни одной заявки;

- S 1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

- S 2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

- S n – в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 4.6.

Из состояния S 0 в состояние S 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью l (как только приходит заявка, система переходит из S 0 в S 1). Если система находилась в состоянии S 1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S 2 и т. д.

Рис. 4.6. Граф состояний N-канальной СМО с отказами

Пусть система находится в состоянии S 1 (работает один канал). Он производит m обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S 1 в состояние S 0 нагружена интенсивностью m. Пусть теперь система находится в состоянии S 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S 1 , нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна 2m и т. д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность

, шт/ед. времени,

где n – количество каналов СМО; р 0 – вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S 0).

Для того, чтобы написать формулу для определения р 0 , рассмотрим рис. 4.7. Граф, представленный на рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения».

Рис. 4.7. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

S 1 , когда один канал занят

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S 2 , т.е. когда два канала заняты

.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S n , т.е. когда все каналы заняты

.

Вероятность нахождения СМО в начальном состоянии р 0

Применительно к n -канальной СМО с отказами

.

При этом ; ; .

Относительная пропускная способность

.

Абсолютная пропускная способность А = lQ .

Вероятность отказа

.

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно)

.

При этом .

Пример № 1. Имеется технологическая система (участок), состоящая из трех одинаковых станков. В систему поступают для обработки детали в среднем через 0,5 часа (). Среднее время изготовления одной детали = 0,6 ч. Если при поступлении заявки на изготовление детали все станки заняты, то деталь направляется на другой участок таких же станков. Необходимо найти финальные вероятности состояний системы и характеристики (показатели эффективности) данной СМО.

Интенсивность потока заявок

,

т. е. в среднем две заявки на обработку деталей в час.

.

Граф состояний системы представлен на рис. 4.8.

Возможные состояния системы: S 0 – в СМО (на участке) нет ни одной заявки; S 1 – в СМО (на участке) одна заявка; S 2 – в СМО (на участке) две заявки; S 3 – в СМО (на участке) три заявки (заняты все три станка).

Вероятность того, что все станки свободны:

.

Вероятность того, что один станок занят

.

Вероятность того, что два станка заняты

.

Вероятность того, что все три станка заняты

.

Абсолютная пропускная способность

дет./ч.

Относительная пропускная способность

;

Вероятность отказа

.

Среднее число занятых каналов (станков)

.

Таким образом, в среднем в этой системе обрабатывается 1,82 дет./ч (примерно 91 % направляемых деталей), при этом примерно 9 % деталей направляется для обработки на другие участки. Одновременно в среднем работает в основном один станок (). Но из-за случайных характеристик потока заявок иногда работают одновременно все три станка (р з = 0,09), отсюда 9 % отказов.

Пример № 2. Пусть , Р отк £ 0,03 (т. е. £ 3 %). Найти оптимальное число каналов n опт, обеспечивающее минимум затрат на систему, при условии достижения требуемого уровня ее безотказной работы.

Целевая функция (затраты на СМО) запишется:

y = cn ® min,

где c – постоянная величина.

; D и расходы на эксплуатацию R . Чтобы решить эту задачу, необходимо найти оптимальное число каналов n опт, обеспечивающее максимум целевой функции P = D – R ® max, т. е. нужно максимизировать прибыль в единицу времени.

Модели управления запасами

Управление запасами – это поддержание оптимальной величины текущего остатка запасов с целью:

Недопущения образования избыточного уровня запасов, ведущего к излишней иммобилизации средств предприятия и дополнительным складским издержкам;

Обеспечения нормальной ритмичности производственно-финансового цикла.

Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени. Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определить количество заказываемой продукции и сроки размещения заказов.

Спрос можно удовлетворить двумя способами:

Путем однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени;

Посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода.

Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).

При избыточном запасе требуются более высокие удельные (отнесенные к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает реже и частота размещения заказов меньше.

При недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита при этом возрастают.

Для любого из этих двух крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.