Почти никогда не получится определить все параметры треугольника без дополнительных построений. Эти построения являются своеобразными графическими характеристиками треугольника, которые помогают определить величину сторон и углов.
Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя сторонами составляют треугольник.
Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, не стандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.
Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.
Как правило, высота треугольника имеет обозначение буквой h. Так же обозначается высота и в других фигурах.
Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:
Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.
Дано : равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.
Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основания:
Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4
Высота это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВН является катетом этого треугольника.
Найдем высоту по теореме Пифагора: $$ВD=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{25-16}=3$$
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.
Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.
Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.
Формула площади треугольника: $$S={1\over2}*bh$$, где b – это сторона треугольника,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:
$$h=2*{S\over b}$$
Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*{15\over5}=6$$
Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Угол ВСН=300 , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся синусом. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH.
Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:
$$BH=BC*\cos (60\unicode{xb0})=8*{1\over2}=4$$
Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.
Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.
Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 152.
Треугольники.
Основные понятия.
Треугольник - это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.
Отрезки называются сторонами , а точки - вершинами .
Сумма углов треугольника равна 180 º .
Высота треугольника.
Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне.
В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).
В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).
Свойства высоты треугольника:
Биссектриса треугольника.
Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).
Свойства биссектрисы:
Медиана треугольника.
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).
Длину медианы можно вычислить по формуле: 2b
2 + 2c
2 - a
2 где m a - медиана, проведенная к стороне а . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: c
где m c - медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в) Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с). Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. |
Средняя линия треугольника.
Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине
Внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).
Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.
Прямоугольный треугольник.
Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой .
Две другие стороны называются катетами .
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В.
Рис.14а
Равнобедренный треугольник.
Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).
Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья - основанием треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.
Равносторонний треугольник.
Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).
Свойства равностороннего треугольника:
Замечательные свойства треугольников.
У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:
1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b , лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.15а ). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b ). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2. 3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с ). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): m c = с/2. 5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c) 6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d ). |
Признаки равенства треугольников .
Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Неравенство треугольника.
В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c 2 = a 2 + b 2 .
Площадь треугольника.
1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
ah
S
= ——
2
2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:
1
S
= —
AB ·
AC
·
sin A
2
Треугольник, описанный около окружности.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ).
Треугольник, вписанный в окружность.
Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a ).
Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).
Синус
острого угла x
противолежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin
x
.
Косинус
острого угла x
прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos x
.
Тангенс
острого угла x
- это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg
x
.
Котангенс
острого угла x
- это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg
x
.
Правила:
Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x :
b = c · sin x
Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x :
a = c · cos x
Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x :
b = a · tg x
Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x :
a = b · ctg x .
Для любого острого угла x :
sin (90° - x ) = cos x
cos (90° - x ) = sin x
Треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.
1 / 5
✪ ВЫСОТА МЕДИАНА БИССЕКТРИСА треугольника 7 класс
✪ биссектриса, медиана, высота треугольника. Геометрия 7 класс
✪ 7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
✪ Медиана, биссектриса, высота треугольника | Геометрия
✪ Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис Трушин
E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}
(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами
A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)
Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:
Если высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной h {\displaystyle h} , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c {\displaystyle c} на отрезки m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} , соответствующие катетам b {\displaystyle b} и a {\displaystyle a} , то верны следующие равенства.
Вычисление высоты треугольника зависит от самой фигуры (равнобедренный, равносторонний, разносторонний, прямоугольный). В практической геометрии сложные формулы, как правило, не встречаются. Достаточно знать общий принцип вычислений для того, чтобы он мог быть универсально применим для всех треугольников. Сегодня мы познакомим вас с базовыми принципами вычисления высоты фигуры, расчетными формулами, основываясь на свойствах высот треугольников.
Что такое высота?
Высота имеет несколько отличительных свойств
Традиционные вычисления
Все стороны у данной фигуры равнозначны, их длины равны, поэтому и углы при основании тоже будут равными. Из этого следует, что высоты, которые проводим на основания, тоже будут равны, они же и медианы, и биссектрисы одновременно. Говоря простым языком, высота в равнобедренном треугольнике делит основание надвое. Треугольник с прямым углом, который получился после проведения высоты, будем рассматривать с помощью теоремы Пифагора. Обозначим боковую сторону как а, а основание как b, тогда высота h = ½ √4 a2 − b2.
Как найти высоту равностороннего треугольника?
Формула равностороннего треугольника (фигуры, где все стороны являются равновеликими), можно найти, исходя из предыдущих вычислений. Необходимо только измерить длину одной из сторон треугольника и обозначить её как а. Тогда высота выводится по формуле: h = √3/2 a.
Как найти высоту прямоугольного треугольника?
Как известно, угол в прямоугольном треугольнике равен 90°. Высота, опущенная на один катет, одновременно является и вторым катетом. На них и будут лежать высоты треугольника с прямым углом. Для получения данных о высоте, нужно немного преобразовать имеющуюся формулу Пифагора, обозначив катеты – а и b, а также измерив длину гипотенузы – с.
Найдем длину катета (сторона, которой будет перпендикулярна высота): a = √ (c2 − b2). Длина второго катета находится по точно такой же формуле: b =√ (c2 − b2). После чего можно приступать к вычислению высоты треугольника с прямым углом, предварительно сосчитав площадь фигуры – s. Значение высоты h = 2s/a.
Расчеты с разносторонним треугольником
Когда разносторонний треугольник имеет острые углы, то высота, опускаемая на основание, видна. Если же треугольник с тупым углом, то высота может находиться вне фигуры, и нужно мысленно её продолжить, чтобы получить точку соединения высоты и основания треугольника. Самым простым способом измерить высоту является вычисление её через одну из сторон и величины углов. Формула выглядит следующим образом: h = b sin y + c sin ß.
При решении различного рода задач, как сугубо математического, так и прикладного характера (особенно в строительстве), нередко требуется определить значение высоты определенной геометрической фигуры. Как рассчитать данную величину (высоту) в треугольнике?
Если мы попарно совместим 3 точки, расположенные не на единой прямой, то полученная фигура будет треугольником. Высота – часть прямой из любой вершины фигуры, которая при пересечении с противоположной стороной образует угол 90°.
Определим значение высоты треугольника в случае, когда фигура имеет произвольные углы и стороны.
h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, где
p – половина периметра фигуры, h(a) – отрезок к стороне a, проведенный под прямым углом к ней,
p=(a+b+c)/2 – расчет полупериметра.
В случае наличия площади фигуры для определения ее высоты можно воспользоваться соотношением h(a)=2S/a.
Для определения длины отрезка, который составляет при пересечении со стороной a прямой угол, можно воспользоваться следующими соотношениями: если известна сторона b и угол γ или сторона c и угол β, то h(a)=b*sinγ или h(a)=c*sinβ.
Где:
γ – угол между стороной b и a,
β – угол между стороной c и a.
Если исходный треугольник вписан в окружность, для определения величины высоты можно воспользоваться радиусом такой окружности. Центр ее расположен в точке, где пересекаются все 3 высоты (из каждой вершины) – ортоцентре, а расстояние от него и до вершины (любой) – радиус.
Тогда h(a)=bc/2R, где:
b, c – 2 другие стороны треугольника,
R – радиус описывающей треугольник окружности.
В данном виде геометрической фигуры 2 стороны при пересечении образуют прямой угол – 90°. Следовательно, если требуется определить в нем значение высоты, то необходимо вычислить либо размер одного из катетов, либо величину отрезка, образующего с гипотенузой 90°. При обозначении:
a, b – катеты,
c – гипотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гипотенузу.
Произвести необходимые расчеты можно с помощью следующих соотношений:
a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S=ab/2,то h(c)=ab/c .
a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.
Данная геометрическая фигура отличается наличием двух сторон равной величины и третьей – основанием. Для определения высоты, проведенной к третьей, отличной стороне, на помощь приходит теорема Пифагора. При обозначениях
a – боковая сторона,
c – основание,
h(c) – отрезок к c под углом 90°, то h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).