При наличии двух рядов значений, подвергающихся ранжированию, рационально рассчитывать ранговую корреляцию Спирмена.

Такие ряды могут представляться:

• парой признаков, определяемых в одной и той же группе исследуемых объектов;
• парой индивидуальных соподчиненных признаков, определяемых у 2 исследуемых объектов по одинаковому набору признаков;
• парой групповых соподчиненных признаков;
• индивидуальной и групповой соподчиненностью признаков.

Метод предполагает проведение ранжирования показателей в отдельности для каждого из признаков.

Наименьшее значение имеет наименьший ранг.

Этот метод относится к непараметрическому статистическому методу, предназначенному для установления существования связи изучаемых явлений:

• определение фактической степени параллелизма между двумя рядами количественных данных;
• оценка тесноты выявленной связи, выражаемой количественно.

Корреляционный анализ

Статистический метод, предназначенный для выявления существования зависимости между 2 и более случайными величинами (переменными), а также ее силы, получил название корреляционного анализа.

Получил свое название от correlatio (лат.) – соотношение.

При его использовании возможны варианты развития событий:

• наличие корреляции (положительная либо отрицательная);
• отсутствие корреляции (нулевая).

В случае установления зависимости между переменными речь идет об их коррелировании. Иными словами, можно сказать, что при изменении значения Х, обязательно будет наблюдаться пропорциональное изменение значения У.

В качестве инструментов используются различные меры связи (коэффициенты).

На их выбор оказывает влияние:

• способ измерения случайных чисел;
• характер связи между случайными числами.

Существование корреляционной связи может отображаться графически (графики) и с помощью коэффициента (числовое отображение).

Корреляционная связь характеризуется такими признаками:

• сила связи (при коэффициенте корреляции от ±0,7 до ±1 – сильная; от ±0,3 до ±0,699 – средняя; от 0 до ±0,299 – слабая);
• направление связи (прямая или обратная).

Цели корреляционного анализа

Корреляционный анализ не позволяет установить причинную зависимость между исследуемыми переменными.

Он проводится с целью:

• установления зависимости между переменными;
• получения определенной информации о переменной на основе другой переменной;
• определения тесноты (связи) этой зависимости;
• определение направления установленной связи.

Методы корреляционного анализа

Данный анализ может выполняться с использованием:

• метода квадратов или Пирсона;
• рангового метода или Спирмена.

Метод Пирсона применим для расчетов требующих точного определения силы, существующей между переменными. Изучаемые с его помощью признаки должны выражаться только количественно.

Для применения метода Спирмена или ранговой корреляции нет жестких требований в выражении признаков – оно может быть, как количественным, так и атрибутивным. Благодаря этому методу получается информация не о точном установлении силы связи, а имеющая ориентировочный характер.

В рядах переменных могут содержаться открытые варианты. Например, когда стаж работы выражается такими значениями, как до 1 года, более 5 лет и т.д.

Коэффициент корреляции

Статистическая величина характеризующая характер изменения двух переменных получила название коэффициента корреляции либо парного коэффициента корреляции. В количественном выражении он колеблется в пределах от -1 до +1.

Наиболее распространены коэффициенты:

• Пирсона – применим для переменных принадлежащих к интервально шкале;
• Спирмена – для переменных порядковой шкалы.

Ограничения использования коэффициента корреляции

Получение недостоверных данных при расчете коэффициента корреляции возможно в тех случаях, когда:

• в распоряжении имеется достаточное количество значений переменной (25-100 пар наблюдений);
• между изучаемыми переменными установлено, например, квадратичное соотношение, а не линейное;
• в каждом случае данные содержат больше одного наблюдения;
• наличие аномальных значений (выбросов) переменных;
• исследуемые данные состоят из четко выделяемых подгрупп наблюдений;
• наличие корреляционной связи не позволяет установить какая из переменных может рассматриваться в качестве причины, а какая – в качестве следствия.

Проверка значимости корреляции

Для оценки статистических величин используется понятие их значимости или же достоверности, характеризующей вероятность случайного возникновения величины либо крайних ее значений.

Наиболее распространенным методом определения значимости корреляции является определение критерия Стьюдента.

Его значение сравнивается с табличным, количество степенней свободы принимается как 2. При получении расчетного значения критерия больше табличного, свидетельствует о значимости коэффициента корреляции.

При проведении экономических расчетов достаточным считается доверительный уровень 0,05 (95%) либо 0,01 (99%).

Ранги Спирмена

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена позволяет статистически установить наличие связи между явлениями. Его расчет предполагает установление для каждого признака порядкового номера – ранга. Ранг может быть возрастающим либо убывающим.

Количество признаков, подвергаемых ранжированию, может быть любым. Это достаточно трудоемкий процесс, ограничивающий их количество. Затруднения начинаются при достижении 20 признаков.

Для расчета коэффициента Спирмена пользуются формулой:

в которой:

n – отображает количество ранжируемых признаков;

d – не что иное как разность между рангами по двум переменным;

а ∑(d2) – сумма квадратов разностей рангов.

Применение корреляционного анализа в психологии

Статистическое сопровождение психологических исследований позволяет сделать их более объективными и высоко репрезентативными. Статистическая обработка данных полученных в ходе психологических экспериментов способствует извлечению максимума полезной информации.

Наиболее широкое применение в обработке их результатов получил корреляционный анализ.

Уместным является проведение корреляционного анализа результатов, полученных при проведении исследований:

• тревожности (по тестам R. Temml, M. Dorca, V. Amen);
• семейных взаимоотношений («Анализ семейных взаимоотношений» (АСВ) опросник Э.Г. Эйдемиллера, В.В. Юстицкиса);
• уровня интернальности-экстернальности (опросник Е.Ф. Бажина, Е.А. Голынкиной и А.М. Эткинда);
• уровня эмоционального выгорания у педагогов (опросник В.В. Бойко);
• связи элементов вербального интеллекта учащихся при разно профильном обучении (методика К.М. Гуревича и др.);
• связи уровня эмпатии (методика В.В. Бойко) и удовлетворенностью браком (опросник В.В. Столина, Т.Л. Романовой, Г.П. Бутенко);
• связи между социометрическим статусом подростков (тест Jacob L. Moreno) и особенностями стиля семейного воспитания (опросник Э.Г. Эйдемиллера, В.В. Юстицкиса);
• структуры жизненных целей подростков, воспитанных в полных и неполных семьях (опросник Edward L. Deci, Richard M. Ryan Ryan).

Краткая инструкция к проведению корреляционного анализа по критерию Спирмена

Проведение корреляционного анализа с использованием метода Спирмена выполняется по следующему алгоритму:

• парные сопоставимые признаки располагаются в 2 ряда, один из которых обозначается с помощью Х, а другой У;
• значения ряда Х располагаются в порядке возрастания либо убывания;
• последовательность расположения значений ряда У определяется их соответствием значений ряда Х;
• для каждого значения в ряду Х определить ранг — присвоить порядковый номер от минимального значения к максимальному;
• для каждого из значений в ряду У также определить ранг (от минимального к максимальному);
• вычислить разницу (D) между рангами Х и У, прибегнув к формуле D=Х-У;
• полученные значения разницы возводятся в квадрат;
• выполнить суммирование квадратов разниц рангов;
• выполнить расчеты по формуле:

Пример корреляции Спирмена

Необходимо установить наличие корреляционной связи между рабочим стажем и показателем травматизма при наличии следующих данных:

Наиболее подходящим методом анализа является ранговый метод, т.к. один из признаков представлен в виде открытых вариантов: рабочий стаж до 1 года и рабочий стаж 7 и более лет.

Решение задачи начинается с ранжирования данных, которые сводятся в рабочую таблицу и могут быть выполнены вручную, т.к. их объем не велик:

Рабочий стаж	Число травм	Порядковые номера	(ранги)	Разность рангов	Квадрат разности рангов
				d(х-у)
до 1 года	24	1	5	-4	16
1-2	16	2	4	-2	4
3-4	12	3	2,5	+0,5	0,25
5-6	12	4	2,5	+1,5	2,5
7 и более	6	5	1	+4	16
					Σ d2 = 38,5

Появление дробных рангов в колонке связано с тем, что в случае появления вариант одинаковых по величине находится среднее арифметическое значение ранга. В данном примере показатель травматизма 12 встречается дважды и ему присваиваются ранги 2 и 3, находим среднее арифметическое этих рангов (2+3)/2= 2,5 и помещаем это значение в рабочую таблицу для 2 показателей.
Выполнив подстановку полученных значений в рабочую формулу и произведя несложные расчёты получаем коэффициент Спирмена равный -0,92

Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о наличии обратной связи между признаками и позволяет утверждать, что небольшой стаж работы сопровождается большим числом травм. Причем, сила связи этих показателей достаточно большая.
Следующим этапом расчётов является определение достоверности полученного коэффициента:
рассчитывается его ошибка и критерий Стьюдента

Калькулятор ниже вычисляет коэффициент ранговой корреляции Спирмена между двумя случайными величинами. Теоретическая часть, чтобы не отвлекаться от калькулятора, традиционно размещается под ним.

add import_export mode_edit delete

Изменения случайных величин

	arrow_upward arrow_downward X	arrow_upward arrow_downward Y
			mode_edit

Размер страницы: 5 10 20 50 100 chevron_left chevron_right

Изменения случайных величин

Импортировать данные Ошибка импорта

Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, ";" или "," Пример: -50.5;-50.5

Импортировать Назад Отменить

Метод расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена на самом деле описывается очень просто. Это тот же самый Коэффициент корреляции Пирсона , только рассчитанный не для самих результатов измерений случайных величин, а для их ранговых значений .

То есть,

Осталось только разобраться, что такое ранговые значения и для чего все это нужно.

Если элементы вариационного ряда расположить в порядке возрастания или убывания, то рангом элемента будет являться его номер в этом упорядоченном ряду.

Например, пусть у нас есть вариационный ряд {17,26,5,14,21}. Отсортируем его элементы в порядке убывания {26,21,17,14,5}. 26 имеет ранг 1, 21 - ранг 2 и т.д. Вариационный ряд ранговых значений будет выглядеть следующим образом {3,1,5,4,2}.

То есть, при расчете коэффициента Спирмена исходные вариационные ряды преобразуются в вариационные ряды ранговых значений, после чего к ним применяется формула Пирсона.

Есть одна тонкость - ранг повторяющихся значений берется как среднее из рангов. То есть для ряда {17, 15, 14, 15} ряд ранговых значений будет выглядеть как {1, 2.5, 4, 2.5}, так как первый элемент равный 15 имеет ранг 2, а второй - ранг 3, и .

Если же повторяющихся значений нет, то есть все значения ранговых рядов - числа из диапазона от 1 до n, формулу Пирсона можно упростить до

Ну и кстати, эта формула чаще всего и приводится как формула расчета коэффицента Спирмена.

В чем же суть перехода от самих значений к их ранговым значениям?
А суть в том, что исследуя корреляцию ранговых значений можно установить насколько хорошо зависимость двух переменных описывается монотонной функцией.

Знак коэффициента указывает на направление связи между переменными. Если знак положительный, то значения Y имеют тенденцию увеличиваться при увеличении значений X; если знак отрицательный, то значения Y имеют тенденцию уменьшаться при увеличении значений X. Если коэффициент равен 0, то никакой тенденции нет. Если же коэффициент равен 1 или -1, то зависимость между X и Y имеет вид монотонной функции - то есть, при увеличении X, Y также увеличивается, либо наоборот, при увеличении X, Y уменьшается.

То есть, в отличие от коэффициента корреляции Пирсона, который может выявить только линейную зависимость одной переменной от другой, коэффициент корреляции Спирмена может выявить монотонную зависимость, там, где непосредственная линейная связь не выявляется.

Поясню на примере. Предположим, что мы исследуем функцию y=10/x.
У нас есть следующие результаты измерений X и Y
{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}
Для этих данных коэффициент корреляции Пирсона равен -0.4686, то есть связь слабая либо отсутствует. А вот коэффициент корреляции Спирмена строго равен -1, что как бы намекает исследователю, что Y имеет строгую отрицательную монотонную зависимость от X.

Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.

Величина коэффициента корреляции Спирмена также лежит в интервале +1 и -1. Он, как и коэффициент Пирсона, может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.

В принципе число ранжируемых признаков (качеств, черт и т.п.) может быть любым, но сам процесс ранжирования большего, чем 20 числа признаков -- затруднителен. Возможно, что именно поэтому таблица критических значений рангового коэффициента корреляции рассчитана лишь для сорока ранжируемых признаков (n < 40, табл. 20 приложения 6).

Ранговый коэффициент корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

где n - количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых);

D - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;

Сумма квадратов разностей рангов.

Используя ранговый коэффициент корреляции, рассмотрим следующий пример.

Пример : Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе у 11 первоклассников и их средняя успеваемость в конце учебного года.

Для решения этой задачи были проранжированы, во-первых, значения показателей школьной готовности, полученные при поступлении в школу, и, во-вторых, итоговые показатели успеваемости в конце года у этих же учащихся в среднем. Результаты представим в табл. 13.

Таблица 13

№ учащихся
Ранги показателей школьной готовности
Ранги среднегодовой успеваемости

Подставляем полученные данные в формулу и производим расчет. Получаем:

Для нахождения уровня значимости обращаемся к табл. 20 приложения 6, в которой приведены критические значения для коэффициентов ранговой корреляции.

Подчеркнем, что в табл. 20 приложения 6, как и в таблице для линейной корреляции Пирсона, все величины коэффициентов корреляции даны по абсолютной величине. Поэтому, знак коэффициента корреляции учитывается только при его интерпретации.

Нахождение уровней значимости в данной таблице осуществляется по числу n, т. е. по числу испытуемых. В нашем случае n = 11. Для этого числа находим :

0,61 для P 0,05

0,76 для P 0,01

Строим соответствующую ``ось значимости"":

Полученный коэффициент корреляции совпал с критическим значением для уровня значимости в 1%. Следовательно, можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью - иначе говоря, чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник. В терминах статистических гипотез психолог должен отклонить нулевую (Нгипотезу о сходстве и принять альтернативную (Но наличии различий, которая говорит о том, что связь между показателями школьной готовности и средней успеваемостью отлична от нуля.

Случай одинаковых (равных) рангов

При наличии одинаковых рангов формула расчета коэффициента линейной корреляции Спирмена будет несколько иной. В этом случае в формулу вычисления коэффициентов корреляции добавляются два новых члена, учитывающие одинаковые ранги. Они называются поправками на одинаковые ранги и добавляются в числитель расчетной формулы.

где n - число одинаковых рангов в первом столбце,

k - число одинаковых рангов во втором столбце.

Если имеется две группы одинаковых рангов, в каком-либо столбце то формула поправки несколько усложняется:

где n - число одинаковых рангов в первой группе ранжируемого столбца,

k - число одинаковых рангов в второй группе ранжируемого столбца. Модификация формулы в общем случае такова:

Пример : Психолог, используя тест умственного развития (ШТУР) проводит исследование интеллекта у 12 учащихся 9 класса. Одновременно с этим, но просит учителей литературы и математики провести ранжирование этих же учащихся по показателям умственного развития. Задача заключается в том, чтобы определить, как связаны между собой объективные показатели умственного развития (данные ШТУРа) и экспертные оценки учителей.

Экспериментальные данные этой задачи и дополнительные столбцы, необходимые для расчета коэффициента корреляции Спирмена, представим в виде табл. 14.

Таблица 14

№ учащихся	Ранги тестирования с помощью ШТУРа	Экспертные оценки учителей по математики	Экспертные оценки учителей по литературе	D (второго и третьего столбцов)	D (второго и четвертого столбцов)	(второго и третьего столбцов)	(второго и четвертого столбцов)

Поскольку при ранжировании использовались одинаковые ранги, то необходимо проверить правильность ранжирования во втором, третьем и четвертом столбцах таблицы. Суммирование в каждом из этих столбцов дает одинаковую сумму - 78.

Проверяем по расчетной формуле. Проверка дает:

В пятом и шестом столбцах таблицы приведены величины разности рангов между экспертными оценками психолога по тесту ШТУР для каждого ученика и величинами экспертных оценок учителей, соответственно по математике и литературе. Сумма величин разностей рангов должна быть равна нулю. Суммирование величин D в пятом и шестом столбцах дало искомый результат. Следовательно, вычитание рангов проведено правильно. Подобную проверку необходимо делать каждый раз при проведении сложных видов ранжирования.

Прежде, чем начать расчет по формуле необходимо рассчитать поправки на одинаковые ранги для второго, третьего и четвертого столбцов таблицы.

В нашем случае во втором столбце таблицы два одинаковых ранга, следовательно, по формуле величина поправки D1 будет:

В третьем столбце три одинаковых ранга, следовательно, по формуле величина поправки D2 будет:

В четвертом столбце таблицы две группы по три одинаковых ранга, следовательно, по формуле величина поправки D3 будет:

Прежде, чем преступить к решению задачи, напомним, что психолог выясняет два вопроса - как связаны величины рангов по тесту ШТУР с экспертными оценками по математике и литературе. Именно поэтому расчет проводится дважды.

Считаем первый ранговый коэффициент с учетом добавок по формуле. Получаем:

Подсчитаем без учета добавки:

Как видим, разница в величинах коэффициентов корреляции оказалась очень незначительной.

Считаем второй ранговый коэффициент с учетом добавок по формуле. Получаем:

Подсчитаем без учета добавки:

И опять, различия оказались очень незначительны. Поскольку число учащихся в обоих случаях одинаково, по табл. 20 приложения 6 находим критические значения при n = 12 сразу для обоих коэффициентов корреляции.

0,58 для P 0,05

0,73 для P 0,01

Откладываем первое значение на ``оси значимости"":

В первом случае полученный коэффициент ранговой корреляции находится в зоне значимости. Поэтому психолог должен отклонить нулевую Нгипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и принять альтернативную Но значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. Иными словами, полученный результат говорит о том, что чем выше экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР, тем выше их экспертные оценки по математике.

Откладываем второе значение на ``оси значимости"":

Во втором случае коэффициент ранговой корреляции находится в зоне неопределенности. Поэтому психолог может принять нулевую Нгипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и отклонить альтернативную Но значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. В этом случае полученный результат говорит о том, что экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР не связаны с экспертными оценками по литературе.

Для применения коэффициента корреляции Спирмена, необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой (ранговой) шкале, но могут быть измерены также в шкале интервалов и отношений.

2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

Таблицы для определения критических значений коэффициента корреляции Спирмена (табл. 20 приложение 6) рассчитаны от числа признаков равных n = 5 до n = 40 и при большем числе сравниваемых переменных следует использовать таблицу для пирсоновского коэффициента корреляции (табл. 19 приложение 6). Нахождение критических значений осуществляется при k = n.

​ Коэффициент ранговой корреляции Спирмена – это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

1. История разработки коэффициента ранговой корреляции

Данный критерий был разработан и предложен для проведения корреляционного анализа в 1904 году Чарльзом Эдвардом Спирменом , английским психологом, профессором Лондонского и Честерфилдского университетов.

2. Для чего используется коэффициент Спирмена?

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется для выявления и оценки тесноты связи между двумя рядами сопоставляемых количественных показателей . В том случае, если ранги показателей, упорядоченных по степени возрастания или убывания, в большинстве случаев совпадают (большему значению одного показателя соответствует большее значение другого показателя - например, при сопоставлении роста пациента и его массы тела ), делается вывод о наличии прямой корреляционной связи. Если ранги показателей имеют противоположную направленность (большему значению одного показателя соответствует меньшее значение другого - например, при сопоставлении возраста и частоты сердечных сокращений ), то говорят об обратной связи между показателями.

Коэффициент корреляции Спирмена обладает следующими свойствами:
1. Коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до единицы, причем при rs=1 имеет место строго прямая связь, а при rs= -1 – строго обратная связь.
2. Если коэффициент корреляции отрицательный, то имеет место обратная связь, если положительный, то – прямая связь.
3. Если коэффициент корреляции равен нулю, то связь между величинами практически отсутствует.
4. Чем ближе модуль коэффициента корреляции к единице, тем более сильной является связь между измеряемыми величинами.

3. В каких случаях можно использовать коэффициент Спирмена?

В связи с тем, что коэффициент является методом непараметрического анализа , проверка на нормальность распределения не требуется.

Сопоставляемые показатели могут быть измерены как в непрерывной шкале (например, число эритроцитов в 1 мкл крови), так и в порядковой (например, баллы экспертной оценки от 1 до 5).

Эффективность и качество оценки методом Спирмена снижается, если разница между различными значениями какой-либо из измеряемых величин достаточно велика. Не рекомендуется использовать коэффициент Спирмена, если имеет место неравномерное распределение значений измеряемой величины.

4. Как рассчитать коэффициент Спирмена?

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:

5. Как интерпретировать значение коэффициента Спирмена?

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее - показателями слабой тесноты связи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - показателями высокой тесноты связи.

Статистическая значимость полученного коэффициента оценивается при помощи t-критерия Стьюдента. Если расчитанное значение t-критерия меньше табличного при заданном числе степеней свободы, статистическая значимость наблюдаемой взаимосвязи - отсутствует. Если больше, то корреляционная связь считается статистически значимой.

Ранговая корреляция Спирмена (корреляция рангов). Ранговая корреляция Спирмена - самый простой способ определения степени связи между факторами. Название метода свидетельствует о том, что связь определяют между рангами, то есть рядами полученных количественных значений, ранжированных в порядке убывания или возрастания. Надо иметь в виду, что, во-первых, ранговое корреляцию Не рекомендуется проводить, если связь пар меньше четырех и больше двадцати; во-вторых, ранговая корреляция позволяет определять связь и в другом случае, если значение имеют полуколичественный характер, то есть не имеют числового выражения, отражают четкий порядок следования этих величин; в-третьих, ранговое корреляцию целесообразно применять в тех случаях, когда достаточно получить приблизительные данные. Пример расчета коэффициента ранговой корреляции для определения вопрос: замеряют вопросник X и Y подобные личностные качества испытуемых. С помощью двух вопросников (X и Y), которые требуют альтернативных ответов "да" или "нет", получили первичные результаты - ответы 15 испытуемых (N = 10). Результаты подали в виде суммы утвердительных ответов отдельно для вопросника X и для вопросника В. Эти результаты сведены в табл. 5.19.

Таблица 5.19. Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента ранговой корреляции по Спирмену (р) *

Анализ сводной корреляционной матрицы. Метод корреляционных плеяд.

Пример. В табл. 6.18 приведены интерпретации одиннадцати переменных, которые тестируют по методике Векслера. Данные получили на однородной выборке в возрасте от 18 до 25 лет (n = 800).

Перед расслаиванием корреляционную матрицу целесообразно ранжировать. Для этого в исходной матрицы вычисляют средние значения коэффициентов корреляции каждой переменной со всеми остальными.

Затем по табл. 5.20 определяют допустимые уровни расслоение корреляционной матрицы при заданных доверительной вероятности 0,95 и n - количества

Таблица 6.20. Восходящая корреляционная матрица

Переменные	1	2	3	4	бы	0	7	8	0	10	11	M (rij)	Ранг
1	1	0,637	0,488	0,623	0,282	0,647	0,371	0,485	0,371	0,365	0,336	0,454	1
2		1	0,810	0,557	0,291	0,508	0,173	0,486	0,371	0,273	0,273	0,363	4
3			1	0,346	0,291	0,406	0,360	0,818	0,346	0,291	0,282	0,336	7
4				1	0,273	0,572	0,318	0,442	0,310	0,318	0,291	0,414	3
5					1	0,354	0,254	0,216	0,236	0,207	0,149	0,264	11
6						1	0,365	0,405	0,336	0,345	0,282	0,430	2
7							1	0,310	0,388	0,264	0,266	0,310	9
8								1	0,897	0,363	0,388	0,363	5
9									1	0,388	0,430	0,846	6
10										1	0,336	0,310	8
11											1	0,300	10

Обозначения: 1 - общая осведомленность; 2 - понятийнисть; 3 - внимательность; 4 - вдатнисть К обобщения; б - непосредственное запоминание (на цифрах) 6 - уровень освоения родном языке; 7 - скорость овладения сенсомоторном навыками (кодирование символами) 8 - наблюдательность; 9 - комбинаторные способности (к анализу и синтезу) 10 - способность к организации частей в осмысленное целое; 11 - способность к эвристического синтеза; M (rij) - среднее значение коэффициентов корреляции переменной с остальными переменных наблюдений (в нашем случае n = 800): r (0) - значение нулевой "Рассекая" плоскости - минимальная значимая абсолютная величина коэффициента корреляции (n - 120, r (0) = 0,236; n = 40, r (0) = 0,407) | Δr | - допустимый шаг расслоения (n = 40, | Δr | = 0,558) в - допустимое количество уровней расслоения (n = 40, s = 1 ; n = 120, s = 2); r (1), r (2), ..., r (9) - абсолютное значение секущей плоскости (n = 40, r (1) = 0,965).

Для n = 800 находим значение гтип и границ ги после чего Расслаивающая ранжированы корреляционную матрицу, выделяя корреляционные плеяды внутри слоев, или отделяем части корреляционной матрицы, вырисовывая объединения корреляционных плеяд для вышележащих слоев (рис. 5.5).

Содержательный анализ полученных плеяд выходит за пределы математической статистики. Надо отметить два формальные показатели, которые помогают при содержательной интерпретации плеяд. Одним существенным показателем служит степень вершины, то есть количество ребер, примыкающих к вершине. Переменная с наибольшим количеством ребер является "ядром" плеяды и ее можно рассматривать как индикатор остальных переменных этой плеяды. Другой существенный показатель - плотность связи. Переменная может иметь меньше связей в одной плеяде, но теснее, и больше связей в другой плеяде, однако менее тесных.

Предсказания и оценки. Уравнение у = b1x + b0 называется общим уравнением прямой. Оно свидетельствует о том, что пары точек (x, y), которые

Рис. 5.5. Корреляционные плеяды, полученные расслоением матрицы

лежат на некоторой прямой, связанные так, что для любого значения х величину в в находящегося с ним в паре, можно найти, умножив х на некоторое число b1 добавив вторых, число b0 к этому произведению.

Коэффициент регрессии позволяет определить степень изменения следственной фактора при изменении причинного фактора на одну единицу. Абсолютные величины характеризуют зависимость между переменными факторами по их абсолютными значениями. Коэффициент регрессии вычисляют по формуле:

Планирование и анализ экспериментов. Планирование и анализ экспериментов - это третья важная отрасль статистических методов, разработанных для нахождения и проверки причинных связей между переменными.

Для исследования многофакторных зависимостей в последнее время все чаще используют методы математического планирования эксперимента.

Возможность одновременного варьирования всеми факторами позволяет: а) уменьшить количество опытов;

б) свести ошибку эксперимента к минимуму;

в) упростить обработку полученных данных;

г) обеспечить наглядность и легкость по сравнению результатов.

Каждый фактор может приобретать некоторую соответствующее количество различных значений, которые называются уровнями и обозначают -1, 0 и 1. Фиксированный набор уровней факторов определяет условия одного из возможных опытов.

Совокупность всех возможных сочетаний вычисляют по формуле:

Полным факторным экспериментом называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Полные факторные эксперименты могут обладать свойством ортогональности. При ортогональном планировании факторы в эксперименте является некоррелированными, коэффициенты регрессии, которые высчитывают в итоге, определяют независимо друг от друга.

Важным преимуществом метода математического планирования эксперимента является его универсальность, пригодность во многих областях исследований.

Рассмотрим пример сравнения влияния некоторых факторов на формирование уровня психического напряжения в регулировщиков цветных телевизоров.

В основу эксперимента положен ортогональный План 2 три (три фактора изменяются на двух уровнях).

Эксперимент проводили с полным части 2 +3 с трехкратным повторением.

Ортогональное планирование базируется на построении уравнения регрессии. Для трех факторов оно выглядит так:

Обработка результатов в этом примере включает:

а) построение ортогонального плана 2 +3 таблице для расчета;

б) вычисления коэффициентов регрессии;

в) проверку их значимости;

г) интерпретацию полученных данных.

Для коэффициентов регрессии упомянутого уравнения надо было поставить N = 2 3 = 8 вариантов, чтобы иметь возможность оценить значимость коэффициентов, где количество повторений К равнялось 3.

Составлена матрица планирования эксперимента выглядела.