Это первое в России практическое пособие по внедрению Хосин канри – одной из наиболее эффективных систем разработки стратегии и развертывания планов внутри компании. Разработать стратегию компании непросто. Но еще сложнее ее реализовать. Ведь для этого необходимо трансформировать ее в конкретные оперативные планы отдельных сотрудников. Как это сделать? Toyota, Bridgestone и Komatsu используют технику Хосин канри. А эта книга – первое в нашей стране практическое руководство по внедрению этой концепции. Помимо подробного изложения самой концепции в книге содержится большое количество примеров, таблиц и инструкций для использования на практике.

Выходные данные книги:

Джексон Томас, Хосин канри: как заставить стратегию работать / Пер. с англ. - М.: Институт комплексных стратегических исследований, 2008. - 248 с.

Originally published in English by Productivity Press as Hoshin Kanri for the Lean Enterprise: Developing Competitive Capabilities and Managing Profit, Copyright © 2002 by Thomas L. Jackson, Translation rights arranged through Productivity Press a division of The Kraus Organization, Ltd.

ISBN (рус.) 978-5-903148-27-1, ISBN (англ.) 978-1-56327-342-1, УДК 658.5, ББК 65.304.15

Перевод с англ. Ольги Синицыной, научное редактирование Инги Попеско, литературная обработка текста Ларисы Павловой, корректоры Галина Кулик, Марианна Бычек, технический редактор Андрей Соболев, верстка Андрея Черненко и Валерия Полошовца, концепция и дизайн обложки Андрея Соболева.

Подписано в печать 08.07.2008 г. Формат 60x90 1/8., Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Объем 31 печ. л. Тираж 2000 экз. Заказ № 1775. Отпечатано с файлов заказчика в ОАО «ИПК «Звезда».

Предисловие российского издателя

Введение. Ресурс-ориентированный подход к разработке стратегии

• Что такое хосин канри
• Хосин канри, управление прибылью и управление средствами
  • Хосин канри, PDCA и организационное обучение
• Для кого предназначено это практическое пособие
  • О содержании этой книги
  • Предостережение

Глава 1. Основы хосин канри - встроенные эксперименты, Х-матрица и формирование команд

• Семь экспериментов хосин канри
• Разработка стратегии - анатомия Х-матрицы
• А-3: бизнес-меморандум XXI века
  • AЗ-i: Информационный отчет о конкурентной среде
  • AЗ-Х: Х-матрица
  • AЗ-Т: План работы команды
  • A3-SR: Отчет о ходе работ
  • A3-SSR: Суммарный отчет о ходе работ
  • АЗ-Р: Отчет о решении задачи
  • Подготовка к процессу хосин канри
• Формирование команд с помощью A3-Т
  • Сообщество ученых - управление на межфункциональном уровне
• Неправильное использование хосин канри
• Кейс-исследование компании Cybernautx

Глава 2. ИССЛЕДУЙ: проверка условий рынка

• Первый эксперимент хосин канри: разработка элементов стратегического назначения
• Шесть инструментов для проверки условий бизнес-среды
  • Инструмент 1. Матрица Портера
  • Инструмент 2. Матрица «продукт/рынок»
  • Инструмент 3. Матрица «рынок/технология»
  • Инструмент 4. Отчет о прибылях и убытках по потоку ценности
  • Зачем нужна новая система бухгалтерского учета?
  • Инструмент 5. Карты потока создания ценности
  • Инструмент 6. «Президентская диагностика»
• Используйте АЗ-i для документирования результатов исследования условий бизнес-среды

Глава 3. ПЛАНИРУЙ: разработка среднесрочной стратегии

• Пересмотр результатов исследования бизнес-среды
• Определите возможности для «прорывов», составив карты потока ценности
• Используйте формы АЗ-Т для документирования потенциальных «прорывов»
• Определите приоритетные направления «прорывов»
• Проанализируйте потенциальные возможности
• Зафиксируйте цели «прорывов» в матрице АЗ-Х
  • Создайте «банк идей» для хранения запасных вариантов и предложений
• Прогнозируйте результаты в АЗ-Х
• Измеряйте улучшения, производимые в соответствующих процессах
• Исследуйте взаимозависимость стратегии, тактики, процесса и результатов
  • Изучите взаимозависимость, определите степень корреляции между стратегиями и результатами
  • Изучите взаимозависимость, определите степень корреляции между улучшенным процессом и результатами
  • Сравнение матрицы среднесрочного хосин-плана с системой сбалансированных показателей

Глава 4. ПЛАНИРУЙ: разработка годового хосин-плана

• Определите возможности и разработайте тактику на ближайшие 6-18 месяцев
• Определите приоритеты и проанализируйте потенциальные возможности
• Разработайте целевые показатели «вкладов» для раздела «Результаты»
• Определите целевые показатели для усовершенствования процессов
• Изучите взаимозависимости между тактикой, процессами и результатами и определите корреляции
  • Изучите взаимозависимости между стратегиями и тактикой, определите корреляцию
  • Изучите взаимозависимости между тактикой и процессами, определите корреляцию
  • Изучите взаимозависимости между процессами и результатами, определите корреляцию
• Назначьте команды и установите порядок отчетности для выполнения каждой тактической меры
• Используя формы АЗ-Т, составьте планы формирования тактических команд

Глава 5. ПЛАНИРУЙ: мобилизуйте компанию с помощью процесса «поймай мяч»

• «Поймай мяч», раунд А: эксперимент 4, тактические проекты и команды
  • Раунд А, шаг 1. Подготовка к проведению встречи
  • Раунд А, шаг 2. Представление плана
  • Раунд А, шаг 3. Обсуждение плана
  • Раунд А, шаг 4. Руководители тактических команд формируют команды
  • Раунд А, шаг 5. Руководители тактических команд изучают хосин-план и подготавливают матрицы АЗ-Х
  • Раунд А, шаг 6. Руководитель тактической команды выполняет проектный план
    • Действие 1. Транслируйте стратегии «прорыва»
    • Действие 2. Определите возможности на период ближайших 6-18 месяцев
    • Действие 3. Зафиксируйте возможности, используя планы работы команд АЗ-Т
    • Действие 4. Выявите приоритетные возможности
    • Действие 5. Определите, какой вклад необходим для достижения результатов
    • Действие 6. Установите целевые показатели улучшенных процессов
    • Действие 7. Изучите взаимозависимости и определите корреляции
    • Действие 8. Сформируйте команды
  • Обсудите планы реализации тактических проектов
  • Еще раз проанализируйте хосин-план и планы тактических проектов
• «Поймай мяч», раунд В: эксперимент 5, операционные проекты и команды
  • Представить и обсудить план тактического проекта с членами команды
  • Руководители оперативных команд формируют команды и определяют план действий
  • Изучить план тактического проекта
  • Закончить план тактического проекта
  • Руководители оперативных команд представляют тактическим командам черновые варианты операционных планов АЗ-Х
  • Руководители тактической и оперативной команд пересматривают и дорабатывают тактическую матрицу АЗ-Х
• «Поймай мяч», раунд С: деятельность оперативных команд определяет проекты и команды исполнителей
  • Обсуждение и пересмотр проектов, предлагаемых оперативными командами и командами исполнителей
• «Поймай мяч», раунд D: деятельность оперативных команд и команд исполнителей - окончательное утверждение их проектных планов
• «Поймай мяч», раунд Е: окончательное утверждение хосин-плана и тактических планов

Глава 6. «ДЕЛАЙ»: обеспечьте участие работников в реализации стратегии

• Обеспечьте участие команд исполнителей
  • Участвуют все
• Утвердите окончательные варианты проектных планов
  • Поэтапные схемы реализации проектов
  • Детализация бюджета
  • Подготовьте детализированный график работ
• Подготовьте лидеров, которые смогут обучать других
  • Модель Toyota: индивидуальное обучение
  • Кайдзен-блиц
  • Тренинг тренеров
  • Ознакомительный тур под руководством мастера
  • Подход в стиле шести сигм
• Применяйте достоверные методы PDCA для обучения своих работников

Глава 7. ПРОВЕРЯЙ: создайте условия для развития бережливого мышления

• Создайте рабочую среду, в которой нет «правых» и «виноватых»
• Визуализируйте управление
• Информационные доски по управлению хосин
• Используйте матрицы A3-SR для составления документации о работе команды исполнителей
• Используйте матрицы A3-SSR для составления документации о работе тактических и оперативных команд
• Регулярно проводите обзорные собрания
• Проведите итоговый годовой обзор
• С помощью матриц АЗ-Р задокументируйте коррективы, внесенные в намеченный курс

Глава 8. ПРОВЕРЯЙ: «Президентская диагностика»

• Мы уже стали бережливыми?
• PDCA и 5 принципов бережливого производства
• Линейка преобразований
• Три этапа «Президентской диагностики»
  • Этап 1: Тактические, оперативные команды и команды исполнителей проводят самодиагностику своего уровня развития PDCA
    • Соберите данные об эффективности
    • Подготовьте команду
    • Подготовьте диагностическую форму
    • «Иди и смотри» - организуйте посещение производственных участков
    • Записывайте наблюдения
    • Проанализируйте, оцените уровень развития в баллах и постройте радарную схему
  • Этап 2: Проведение «Президентской диагностики»
    • Посещение участков хосин-командой
    • Хосин-команда извещает выбранную команду и представляет ей список вопросов
    • Команда составляет предварительный отчет для хосин-команды
    • Президент готовит вопросы для диагностических форм
    • Хосин-команда планирует этап «Иди и смотри»
    • Будьте учителем и наставником
    • Хосин-команда приступает к оценке компании в целом
    • Диагностика цепей поставок
    • Хосин-команда предоставляет письменные рекомендации
  • Этап 3: Отметьте достижения

Глава 9. ВОЗДЕЙСТВУЙ: институционализация хосин канри через стандартизацию работ, кайдзен и развитие лидерского потенциала

• Стандартизированная работа
• Научное значение стандартизированной работы
• Кайдзен: эксперимент № 7 хосин канри
• Развитие лидерского потенциала и планирование преемственности
• Процесс коучинга
  • Перекрестная командная структура и наставничество
  • Система обучающих моментов
  • Ищите сэнсэя

Алфавитный указатель

Книги ИКСИ для развития людей и организаций

• Об издательской программе ИКСИ
• О серии книг «Производство без потерь»

Предисловие российского издателя

В России за последние 5 лет издано немало качественной литературы по бережливому производству (БП). Читатели получили возможность познакомиться с классическими монографиями («Производственная система Тойоты» Тайити Оно, «Выход из кризиса» Эдварда Деминга и др.), фундаментальными книгами по отдельным методам и инструментам БП («Синхронизированное производство» Хитоси Такеды, «Быстрая переналадка» Сигео Синго и др.), практическими пособиями для рабочих («5S для рабочих», «Общая эффективность оборудования» и др.). Однако до настоящего времени сохранялся существенный пробел: в нашей стране отсутствовали издания, посвященные разработке стратегии и развертыванию планов внутри компании. Книга «Хосин канри: как заставить стратегию работать» ликвидирует этот пробел.

Мы рады, что первым, а значит, и основным источником знаний о концепции хосин канри в России стала именно книга Томаса Джексона. Она уже получила признание в США, где была награждена премией Синго (Shingo Prize) сразу после выхода в свет в 2006 г. Опубликовать именно эту книгу первой нам рекомендовала Маура Мэй - главный редактор издательства Productivity Press. У нас нет сомнений в том, что эта книга Томаса Джексона будет полезной для собственников и руководителей различных компаний. Книга сопровождается дополнительными материалами в электронном виде. Материалы содержат пустые таблицы, документы и инструкции к их заполнению, которые потребуются хосин-командам при работе. Все материалы размещены в бесплатном доступе на нашем сайте www.icss.ac.ru/books на странице книги «Хосин канри: как заставить стратегию

«Хосин канри: как заставить стратегию работать» Томаса Джексона является в своем роде уникальной книгой. С одной стороны, это первая фундаментальная книга в данной области с подробным изложением концепции хосин канри. С другой - это настоящее пошаговое практическое руководство. Мы намеренно оставили широкие поля, чтобы вы могли делать необходимые пометки и записи. Уверены, их будет много!

Вячеслав Болтрукевич,
Институт комплексных стратегических исследований

Введение
Ресурс-ориентированный подход к разработке стратегии

Законы международной торговли и финансовых рынков, наличие высокоскоростных методов коммуникации объединяют страны и континенты, стирая границы в сегодняшнем мире. Теперь у вас повсюду есть клиенты, которые хотят получить продукт высокого качества, недорогой и к тому же отвечающий их национальным, культурным, личным вкусам и предпочтениям. И конкуренты у вас теперь также повсюду, ведь и у них есть доступ к недорогим кредитам и современным технологиям, которыми пользуетесь вы. Победа над конкурентами все больше и больше зависит от способности создавать особые, а в идеале - совершенно уникальные и трудновоспроизводимые ресурсы. Большая часть этих ресурсов относится к нематериальным активам, которые вы далеко не всегда можете отразить в своем бухгалтерском балансе, руководствуясь общепринятыми принципами бухгалтерского учета. К таким нематериальным активам относятся: сильный бренд, запатентованные технологии или другая интеллектуальная собственность, эффективные бизнес-процессы, отношения с работниками, клиентами и поставщиками, а также развитие человеческого капитала.

Из наиболее действенных ресурсных комбинаций, появившихся за последние 50 лет и оказывающих значительное влияние на конкурентоспособность компаний, назовем две: это производственная система Тойоты (которую также называют бережливым производством, а в более широком смысле - концепцией бережливого мышления или бережливого предприятия и шести сигм). Бережливое предприятие - это философия, базирующаяся на идее непрерывных улучшений, позволяющих ликвидировать те виды деятельности, которые не создают дополнительной ценности, сначала на собственных производственных предприятиях компании, а со временем и на предприятиях основных поставщиков. В частности, бережливое предприятие подразумевает более эффективный контроль времени на всех функциональных уровнях за счет устранения препятствий для нормального потока материальных ресурсов и информации. Из этих препятствий наиболее распространены «семь губительных потерь» - перепроизводство, ненужная транспортировка, простои, избыток запасов, брак, лишние этапы обработки, а также избыточные перемещения людей в ходе работы. За счет устранения этих потерь бережливое производство позволяет обеспечить прежний объем выпуска продукции, вдвое сократив при этом человеческие ресурсы, производственные площади, инвестиции в оборудование, затраты времени инженерно-технических специалистов, необходимость поддержки и разработки новых продуктов - и все это при малой доле складских запасов по сравнению с теми, что при данных объемах создаются конкурентами в условиях массового производства.

Шесть сигм - мощный комплексный инструмент, позволяющий сократить объем брака до уровня не более 3,4 дефекта на миллион случаев. Термин «сигма» используется в статистике для измерения масштаба отклонений, и стратегия шести сигм определяет степень отклонения какого-либо бизнес-процесса от его цели. По определению шести сигм количество дефектов при выпуске продукции и неоправданных потерь в текущих расходах напрямую связано со степенью удовлетворенности потребителя. Показатели шести сигм измеряют возможности процесса обеспечить бездефектную работу. Во многом это повторяет систему всеобщего управления качеством (total quality management, TQM) с акцентом на снижение изменчивости посредством непрерывного улучшения действующих процессов (DMAIC), комплексного проектирования (проектирование по системе шести сигм) и совершенствования административных процессов {трансактных шести сигм). (Аббревиатура DMAIC обозначает пять взаимосвязанных этапов: «Определяй - Измеряй - Анализируй - Совершенствуй - Контролируй», в методологии шести сигм соответствует постоянному улучшению действующих процессов.)

Передовые компании применяют комбинированные стратегии сокращения потерь (основной акцент бережливого производства) и снижения изменчивости (основной акцент шести сигм) для формирования комплексных программ «бережливое производство - шесть сигм». Toyota объединила бережливое производство и шесть сигм в 1963 году, благодаря чему выиграла премию Деминга за внедрение системы всеобщего управления качеством. С того времени шесть сигм являются составной частью производственной системы Тойоты и бережливого производства. На сегодняшний день в таких отраслях, как автомобильная и аэрокосмическая промышленность, производство компьютерной техники и электроники и т.д., даже в розничной торговле на франшизных предприятиях накоплено достаточно данных, доказывающих, что бизнес-системы, созданные на основе объединения принципов бережливого производства и шести сигм, обречены на успех.

Ключевым элементом бережливого производства и шести сигм является одна и та же операционная бизнес-система - хосин канри (hoshin kanri), которой и посвящена эта книга. В одном из опубликованных недавно исследований Дэн Джонс (соавтор книг «Машина, которая изменила мир», «Бережливое мышление») и сотрудники Исследовательского центра бережливого производства при Университете Кардифф* выделили четыре характеристики, свойственные всем наиболее успешным компаниям* :

1. Хосин канри (метод, также известный под названием «развертывание политики», или policy deployment).

2. Управление процессом (с акцентом на совершенствование процесса и финансовых показателей).

3. Использование систем и инструментов бережливого производства (включая единый инструментарий всеобщего управления качеством из шести сигм, а также производственно-технологический инструментарий из бережливого производства).

4. Интеграция цепи поставок (в процесс разработки продукта и логистику).

Хосин канри занимает первое место в этом списке, играя ключевую роль в обеспечении наивысшего уровня организационного обучения. Этот метод превращает любую организацию, которая его применяет (при условии, что применяет правильно), в сообщество ученых, участвующих в грандиозном эксперименте - систематическом улучшении всего, что делается, для удовлетворения потребностей заказчиков и победы над конкурентами в рыночной борьбе.

Что такое хосин канри

Хосин канри для организации может означать многое. Это и метод стратегического планирования, и инструмент управления комплексными проектами, и система управления качеством, позволяющая учитывать требования и пожелания потребителя при разработке новых продуктов, и операционная система компании, обеспечивающая надежный рост прибыли. Это также метод управления на межфункциональном уровне и интеграции цепи поставок в процесс бережливого производства. Но прежде всего хосин канри - это метод организационного обучения и система создания конкурентоспособных ресурсов.

На японском языке иероглифы в слове «канри» означают управление, контроль. Иероглифы в слове «хосин» можно перевести как направление и сияющая игла, а все вместе - как компас. Как правило, эти иероглифы переводятся как политика, поэтому вы часто можете встретить такой перевод хосин канри: управление политикой или развертывание политики. У большинства англоязычных читателей слово политика немедленно вызывает ассоциации с бюрократическим миром, который не имеет ничего общего с организационным обучением. Поэтому в рамках данного руководства мы будем использовать оригинальный японский термин - хосин канри.

Понятие хосин канри появилось в 1950-1960-х годах, когда японские компании в послевоенный период претерпевали структурные преобразования, стремясь повысить свою конкурентоспособность на открытом международном рынке. Под влиянием учения Питера Друкера* о направленности рынка и долговременном планировании Японский союз ученых и инженеров (Japanese Union of Scientists and Engineers, JUSE) в 1958 году добавил номинацию «Политика и планирование» в состав присуждаемой ежегодно премии имени Э. Деминга* . В 1964 году компания Bridgestone Tire ввела в обращение термин «хосин канри», а в 1965 году опубликовала свое «Руководство по хосин канри», в котором были сформулированы основные принципы хосин, выделенные в работах лауреатов премии Деминга. Toyota и Komatsu с успехом дополнили версию хосин, представленную компанией Bridgestone, своими собственными инновационными достижениями в сферах управления на межфункциональном уровне и повседневного контроля показателей качества, затрат и дисциплины поставок (так называемые QCD - Quality, Cost, Delivery). С тех пор хосин является отличительным признаком, критерием бережливого производства, также как и системы всеобщего управления качеством и ее производной - шести сигм.

Хосин канри, управление прибылью и управление средствами

Кроме того, хосин канри является основой применяемой в компании Toyota системы управления прибылью, а также тесно связанных с ней методов расчета целевых затрат (таргет-костинг* ) и расчета затрат в системе непрерывного улучшения производства (кай-дзен-костинг* ), без которых невозможно понять тойотовскую систему обеспечения прибыли* . Как показано в данном пособии, хосин обеспечивает интеграцию традиционного бюджетного процесса в рамки многолетнего плана получения прибыли. С помощью инновационного метода под названием «поймай мяч» (которому посвящена глава 5) хосин обеспечивает участие команд руководителей каждого организационного уровня в предоставлении высококачественной финансовой информации по текущей и планируемой деятельности до завершения формирования ежегодного бюджета. При этом целевые финансовые показатели тщательно соотносятся с конкретными факторами затрат и теми мерами по улучшению процессов, которые помогут достичь данных целей. В определенной степени система хосин канри обеспечила использование методов управления по принципу «открытой книги» («управление с открытыми картами») за несколько десятилетий до того, как сам этот термин появился на Западе для обозначения открытого информирования работников передовой линии производства о финансовой деятельности компании. В нашей книге тема управления прибылью будет упоминаться при обсуждении отчета о прибылях и убытках по потоку ценности (см. подробнее в главе 2), и мы будем периодически обновлять этот отчет по мере поступления информации о ходе дел в двух компаниях, представленных в нашем исследовании, - Cybernautx и ее основном поставщике Nonesuch Casting.

Прибыль фактически является результатом правильного управления имеющимися средствами. Хосин можно с полным основанием называть «управлением средствами», так как эта система направлена на развитие качеств и характеристик, обеспечивающих конкурентособность компании благодаря повышению прибыли. В самом деле хосин не только ускорил появление менеджмента по принципу «открытой книги». Одной из основных его особенностей изначально было наличие сбалансированной системы показателей эффективности (balanced scorecard), представленной целевыми показателями улучшения процессов, специально разработанными для обеспечения соответствующих целевых показателей затрат и прибыли. Хосин канри можно использовать для управления практически всем, что движется. Вот примеры задач, которые решаются с его помощью:

Интеграция деятельности по производству потока ценности в рамках одного завода, офиса, лечебного учреждения и т.д.;

Интеграция единой системы потока ценности с участием множества компаний-поставщиков;

Запуск нового продукта или услуги;

Управление портфолио брендов или набором взаимосвязанных продуктов и потоков ценности;

Управление программами стратегических изменений;

Управление внедрением бережливого производства или шести сигм;

Управление любым комплексным проектом, включающим взаимодействие на уровне различных функциональных подразделений;

Управление компаниями, входящими в портфель инвестиционного акционерного фонда, для обеспечения систематического роста доходности этих компаний.

Как видите, применение хосин канри дает массу преимуществ. В частности, в данном пособии мы рассмотрим, как хосин канри используется для интеграции единого потока ценности, в рамках которого хосин канри и бережливый учет являются единым интегрированным процессом. Единый поток ценности - это все, что вы делаете (от первоначальной идеи и до получения выручки, придумывая идею нового продукта, обеспечивая необходимый капитал и сырье, превращая их в новые товары и услуги, доставляя потребителю). (Мы рассмотрим единые потоки ценности, когда будем анализировать пример компании Cybernautx.)

У нас есть несколько веских причин для того, чтобы построить повествование именно вокруг такой темы, как единый поток ценности. Во-первых, это облегчит знакомство читателя с хосин канри. Во-вторых, единые потоки ценности показывают, каким образом бережливые компании, такие, как Toyota, и компании, применяющие шесть сигм (например, General Electrics или Allied Signal), управляют затратами и прибылями при производстве своей продукции. В-третьих, многие читатели уже знакомы с построением карт потока ценности - распространенным методом визуализации потоков материалов и информации, обеспечивающих удовлетворение потребностей потребителя. В-четвертых, интеграция единого потока ценности - вот новая задача, которая встает перед компаниями, внедряющими сегодня системы бережливого производства и шести сигм.

Наряду с интеграцией единого потока ценности при изучении этой книги вы познакомитесь с технологией внедрения хосин канри, так что при необходимости ваша компания сможет:

Постоянно повышать рыночную стоимость своих брендов;

Патентовать новые технологии и регистрировать интеллектуальные права на новые

Внедрить бережливое производство и шесть сигм;

Интегрировать поставщиков в одну организацию, действующую на основе принципов бережливого производства и шести сигм.

Все это поможет сформировать качества и способности, необходимые для производства более совершенных товаров и их более оперативного вывода на рынок, а также для расширения хорошо оплачиваемых рабочих мест без введения, как это часто бывает на Западе, самоубийственных торговых ограничений, что в конце концов обеспечит вашей компании или организации возможность успешно конкурировать на мировом рынке.

Хосин канри, PDCA и организационное обучение

Главное в организационном обучении - выявлять проблемы и решать их* . Хосин канри соответствует данному определению: он обеспечивает управление и улучшение каждого аспекта бизнеса благодаря применению цикла Деминга, или PDCA (Plan - Do - Check - Act, то есть «Планируй -Делай - Проверяй -Действуй»). PDCA - это сокращенная запись научного метода:

Планируй (сформулируй гипотезу и создай экспериментальную базу).

Делай (проверь гипотезу).

Проверяй (подтверди воспроизводимость результатов своего эксперимента).

Действуй (сделай проверенные гипотезы частью новых рабочих стандартов).

За счет систематического применения PDCA хосин канри позволяет интегрировать функции планирования и исполнения на всех уровнях организации. Вы добьетесь этого, внедрив сложный процесс, который называется «поймай мяч» (мы будем рассматривать его в главе 5). Благодаря процессу «поймай мяч» циклы PDCA оказываются как бы «вмонтированы» один в другой по мере того, как стратегический план последовательно «развертывается» на различных этапах управленческой иерархии.

На рисунке 1 слева показан нормальный цикл PDCA, в рамках которого члены высшего руководства создают и реализуют стратегию, не привлекая к этому тех, кто находится на нижних уровнях организационной иерархии. Менеджерам среднего звена и работникам просто «скажут, что делать». Следствием являются слабое понимание людьми стратегических целей и низкая заинтересованность в их реализации, что, в свою очередь, приводит к плохим результатам при выполнении этапа «Делай» цикла PDCA. Более того, когда достичь поставленных целей не удается, высшее руководство компании обычно обвиняет во всем менеджеров среднего звена и рабочих.

Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

Вид уравнения : A·X = B X·A = B A·X·B = C
Размерность матрицы А
Размерность матрицы B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Размерность матрицы C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

где А, В, С - задаваемые матрицы, Х - искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X - B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат . Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1


Ответ: >

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2x2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3x3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.

Шаги

Поиск определителя

Запишите матрицу размерностью 3 x 3. Запишем матрицу размерностью 3 x 3, которую обозначим M, и найдем ее определитель |M|. Далее приводится общая форма записи матрицы, которую мы будем использовать, и матрица для нашего примера:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}}

1. Выберите строку или столбец матрицы. Эта строка (или столбец) будет опорной. Результат будет одинаков, независимо от того, какую строку или какой столбец вы выберете. В данном примере давайте возьмем первую строку. Чуть позже вы найдете несколько советов касательно того, как выбирать строку или столбец, чтобы упростить вычисления.

   • Давайте выберем первую строку матрицы M в нашем примере. Обведите числа 1 5 3. В общей форме обведите a 11 a 12 a 13 .

2. Зачеркните строку или столбец с первым элементом. Обратитесь к опорной строке (или к опорному столбцу) и выберите первый элемент. Проведите горизонтальную и вертикальную черту через этот элемент, вычеркнув таким образом столбец и строку с этим элементом. Должно остаться четыре числа. Будем считать эти элементы новой матрицей размерностью 2 x 2.

   • В нашем примере, опорной строкой будет 1 5 3. Первый элемент находится на пересечении первого столбца и первой строки. Вычеркните строку и столбец с этим элементом, то есть первую сроку и первый столбец. Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2 x 2 :
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. Найдите определитель матрицы 2 x 2. Запомните, что определитель матрицы (a b c d) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} вычисляется как ad - bc . Опираясь на это, вы можете вычислить определитель полученной матрицы 2 x 2, которую, если хотите, можете обозначить как X. Умножьте два числа матрицы X, соединенных по диагонали слева направо (то есть так: \). Затем вычтите результат умножения двух других чисел по диагонали справа налево (то есть так: /). Используйте эту формулу, чтобы вычислить определитель матрицы, которую вы только что получили.

   Умножьте полученный ответ на выбранный элемент матрицы M. Вспомните, какой элемент из опорной строки (или столбца) мы использовали, когда вычеркивали другие элементы строки и столбца, чтобы получить новую матрицу. Умножьте этот элемент на полученный минор (определитель матрицы 2x2, которую мы обозначили X).

   • В нашем примере мы выбирали элемент a 11 , который равнялся 1. Умножим его на -34 (определитель матрицы 2x2), и у нас получится 1*-34 = -34 .

4. Определите знак полученного результата. Далее вам понадобится умножить полученный результат на 1, либо на -1, чтобы получить алгебраическое дополнение (кофактор) выбранного элемента. Знак кофактора будет зависеть от того, в каком месте матрицы 3x3 стоит элемент. Запомните эту простую схему знаков, чтобы знать знак кофактора:

5. Повторите все вышеописанные действия со вторым элементом опорной строки (или столбца). Вернитесь к исходной матрице размерностью 3x3 и строке, которую мы обвели в самом начале вычислений. Повторите все действия с этим элементом:

   • Вычеркните строку и столбец с этим элементом. В нашем примере мы должны выбрать элемент a 12 (равный 5). Вычеркнем первую строку (1 5 3) и второй столбец (5 4 6) {\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}} матрицы.
   • Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2x2. В нашем примере матрица будет иметь вид (2 7 4 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}
   • Найдите определитель этой новой матрицы 2x2. Воспользуйтесь вышеприведенной формулой ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
   • Умножьте полученный определитель на выбранный элемент матрицы 3x3. -24 * 5 = -120
   • Проверьте, нужно ли умножить результат на -1. Воспользуемся формулой (-1) ij , чтобы определить знак алгебраического дополнения. Для выбранного нами элемента a 12 в таблице указан знак «-», аналогичный результат дает и формула. То есть мы должны изменить знак: (-1)*(-120) = 120 .

6. Повторите с третьим элементом. Далее вам понадобится найти еще одно алгебраическое дополнение. Вычислите его для последнего элемента опорной строки или опорного столбца. Далее приводится краткое описание того, как вычисляется алгебраическое дополнение для a 13 в нашем примере:

   • Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу (2 4 4 6) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}
   • Ее определитель равен 2*6 - 4*4 = -4.
   • Умножьте результат на элемент a 13: -4 * 3 = -12.
   • Элемент a 13 имеет знак + в приведенной выше таблице, поэтому ответ будет -12 .

7. Сложите полученные результаты. Это последний шаг. Вам необходимо сложить полученные алгебраические дополнения элементов опорной строки (или опорного столбца). Сложите их вместе, и вы получите значение определителя матрицы 3x3.

   • В нашем примере определитель равен -34 + 120 + -12 = 74 .

   Как упростить задачу

   1. Выбирайте в качестве опорной строки (или столбца) ту, что имеет больше нулей. Помните, что в качестве опорной вы можете выбрать любую строку или столбец. Выбор опорной строки или столбца не влияет на результат. Если вы выберете строку с наибольшим количеством нулей, вам придется выполнять меньше вычислений, поскольку вам будет необходимо вычислить алгебраические дополнения только для ненулевых элементов. Вот почему:

      • Допустим, вы выбрали 2 строку с элементами a 21 , a 22 , and a 23 . Чтобы найти определитель, вам будет необходимо найти определители трех различных матриц размерностью 2x2. Давайте назовем их A 21 , A 22 , and A 23 .
      • То есть определитель матрицы 3x3 равен a 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |.
      • Если оба элемента a 22 и a 23 равны 0, то наша формула становится намного короче a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |. То есть необходимо вычислить только алгебраическое дополнение одного элемента.

   2. Используйте сложение строк, чтобы упростить матрицу. Если вы возьмете одну строку и прибавите к ней другую, то определитель матрицы не изменится. То же самое верно и для столбцов. Подобные действия можно выполнять несколько раз, кроме того, вы можете умножать значения строки на постоянную (перед сложением) для того, чтобы получить как можно больше нулей. Подобные действия могут сэкономить массу времени.

      • Например, у нас есть матрица из трех строк: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}
      • Чтобы избавиться от 9 на месте элемента a 11 , мы можем умножить вторую строку на -3 и прибавить результат к первой. Новая первая строка будет + [-9 -3 0] = .
      • То есть мы получаем новую матрицу (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}} Попробуйте проделать то же самое со столбцами, чтобы получить на месте элемента a 12 нуль.

   3. Помните, что вычислять определитель треугольных матриц намного проще. Определитель треугольных матриц вычисляется как произведение элементов на главной диагонали, от a 11 в верхнем левом углу до a 33 в нижнем правом углу. Речь в данном случае идет о треугольных матрицах размерностью 3x3. Треугольные матрицы могут быть следующих видов, в зависимости от расположения ненулевых значений:

      • Верхняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали и выше нее. Все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
      • Нижняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся ниже главной диагонали и на ней.
      • Диагональная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Является частным случаем вышеописанных матриц.
      • Описанный метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга. Например, если вы используете его для матрицы 4x4, то после «вычеркивания» будут оставаться матрицы 3x3, для которых определитель будет вычисляться вышеупомянутым способом. Будьте готовы к тому, что вычислять определитель для матриц таких размерностей вручную - очень трудоемкая задача!
      • Если все элементы строки или столбца равны 0, то определитель матрицы тоже равен 0.

Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица - таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .

Общий вид матрицы:

Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:

• Главная диагональ, состоящая из элементов а 11 ,а 22 …..а mn .
• Побочная диагональ, состоящая из элементов а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .

Основные виды матриц:

• Квадратная - такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n ).
• Нулевая - где все элементы матрицы = 0.
• Транспонированная матрица — матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
• Единичная - все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
• Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.

Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.

Методы решения матриц.

Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.

Нахождение определителей 2-го порядка.

Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

Методы нахождения определителей 3го порядка.

Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.

Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:

Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме:

При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-":

Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.

При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

Теорема Лапласа при решении матриц.

Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ - это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k ≤ n - 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
2. Вычисляем алгебраические дополнения.
3. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
4. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
5. Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Решение систем матриц.

Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.

Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.

Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.

Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.

Матричным уравнением называется уравнение вида

A ⋅ X = B

X ⋅ A = B ,

где A и B - известные матрицы, X - неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

.

Так как E - единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

X ⋅ A = B ,

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

,

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

A ⋅ X ⋅ B = C ,

является

.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

A ⋅ X = B A и неизвестной матрицы X матрица A B A A .

A :

.

A :

.

A :

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Решить матричное уравнение самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A B на матрицу, обратную матрице A A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

A :

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A .